Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28704 / 45088
↖ ↑ ↗
← S 55.875311°
W 22.324219°		 ← 342.65 m → S 55.875311°
W 22.318726°		 →
↑
342.70 m
↓
↑
342.70 m
↓
S 55.878393°
W 22.324219°		 ← 342.62 m →
117 420 m²		 S 55.878393°
W 22.318726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437995910644531 y=0.687995910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437995910644531 × 216)
    floor (0.437995910644531 × 65536)
    floor (28704.5)     		tx = 28704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687995910644531 × 216)
    floor (0.687995910644531 × 65536)
    floor (45088.5)     		ty = 45088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28704 / 45088 ti = "16/28704/45088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28704/45088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28704 ÷ 216
    28704 ÷ 65536     		x = 0.43798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45088 ÷ 216
    45088 ÷ 65536     		y = 0.68798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43798828125 × 2 - 1) × π
    -0.1240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38963112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68798828125 × 2 - 1) × π
    -0.3759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.18116520663818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38963112} λ = -0.38963112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18116520663818))-π/2
    2×atan(0.306920903891316)-π/2
    2×0.297794091077831-π/2
    0.595588182155663-1.57079632675     		φ = -0.97520814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38963112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97520814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.875311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28704 KachelY 45088 -0.38963112 -0.97520814 -22.324219 -55.875311
    Oben rechts KachelX + 1 28705 KachelY 45088 -0.38953525 -0.97520814 -22.318726 -55.875311
    Unten links KachelX 28704 KachelY + 1 45089 -0.38963112 -0.97526193 -22.324219 -55.878393
    Unten rechts KachelX + 1 28705 KachelY + 1 45089 -0.38953525 -0.97526193 -22.318726 -55.878393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97520814--0.97526193) × R
    5.37900000000535e-05 × 6371000     		dl = 342.696090000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97520814--0.97526193) × R
    5.37900000000535e-05 × 6371000     		dr = 342.696090000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38963112--0.38953525) × cos(-0.97520814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.560995763524048 × 6371000     		do = 342.649351382293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38963112--0.38953525) × cos(-0.97526193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.560951234346133 × 6371000     		du = 342.622153505015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97520814)-sin(-0.97526193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560995763524048-0.560951234346133)×R²
    abs(-0.38953525--0.38963112)×4.45291779148649e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45291779148649e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45291779148649e-05×40589641000000     		ar = 117419.93268477m²