Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28928 / 45312
↖ ↑ ↗
← S 56.559482°
W 21.093750°		 ← 336.59 m → S 56.559482°
W 21.088257°		 →
↑
336.58 m
↓
↑
336.58 m
↓
S 56.562509°
W 21.093750°		 ← 336.56 m →
113 284 m²		 S 56.562509°
W 21.088257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441413879394531 y=0.691413879394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441413879394531 × 216)
    floor (0.441413879394531 × 65536)
    floor (28928.5)     		tx = 28928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691413879394531 × 216)
    floor (0.691413879394531 × 65536)
    floor (45312.5)     		ty = 45312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28928 / 45312 ti = "16/28928/45312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28928/45312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28928 ÷ 216
    28928 ÷ 65536     		x = 0.44140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45312 ÷ 216
    45312 ÷ 65536     		y = 0.69140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44140625 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69140625 × 2 - 1) × π
    -0.3828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.20264093766797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36815539} λ = -0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20264093766797))-π/2
    2×atan(0.300399826195877)-π/2
    2×0.291823567124064-π/2
    0.583647134248128-1.57079632675     		φ = -0.98714919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98714919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.559482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28928 KachelY 45312 -0.36815539 -0.98714919 -21.093750 -56.559482
    Oben rechts KachelX + 1 28929 KachelY 45312 -0.36805952 -0.98714919 -21.088257 -56.559482
    Unten links KachelX 28928 KachelY + 1 45313 -0.36815539 -0.98720202 -21.093750 -56.562509
    Unten rechts KachelX + 1 28929 KachelY + 1 45313 -0.36805952 -0.98720202 -21.088257 -56.562509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98714919--0.98720202) × R
    5.28300000000037e-05 × 6371000     		dl = 336.579930000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98714919--0.98720202) × R
    5.28300000000037e-05 × 6371000     		dr = 336.579930000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36815539--0.36805952) × cos(-0.98714919) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.55107097894133 × 6371000     		do = 336.58741433948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36815539--0.36805952) × cos(-0.98720202) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.551026893736486 × 6371000     		du = 336.560487635523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98714919)-sin(-0.98720202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55107097894133-0.551026893736486)×R²
    abs(-0.36805952--0.36815539)×4.40852048438911e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.40852048438911e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.40852048438911e-05×40589641000000     		ar = 113284.036889398m²