Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 290 / 354
↖ ↑ ↗
← S 56.559482°
E 23.906250°		 ← 43.085 km → S 56.559482°
E 24.609375°		 →
↑
42.865 km
↓
↑
42.865 km
↓
S 56.944974°
E 23.906250°		 ← 42.645 km →
1 837.40 km²		 S 56.944974°
E 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5673828125 y=0.6923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5673828125 × 29)
    floor (0.5673828125 × 512)
    floor (290.5)     		tx = 290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6923828125 × 29)
    floor (0.6923828125 × 512)
    floor (354.5)     		ty = 354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 290 / 354 ti = "9/290/354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/290/354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 290 ÷ 29
    290 ÷ 512     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 354 ÷ 29
    354 ÷ 512     		y = 0.69140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69140625 × 2 - 1) × π
    -0.3828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.20264093766797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20264093766797))-π/2
    2×atan(0.300399826195877)-π/2
    2×0.291823567124064-π/2
    0.583647134248128-1.57079632675     		φ = -0.98714919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98714919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.559482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 290 KachelY 354 0.41724277 -0.98714919 23.906250 -56.559482
    Oben rechts KachelX + 1 291 KachelY 354 0.42951462 -0.98714919 24.609375 -56.559482
    Unten links KachelX 290 KachelY + 1 355 0.41724277 -0.99387729 23.906250 -56.944974
    Unten rechts KachelX + 1 291 KachelY + 1 355 0.42951462 -0.99387729 24.609375 -56.944974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98714919--0.99387729) × R
    0.00672810000000001 × 6371000     		dl = 42864.7251000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98714919--0.99387729) × R
    0.00672810000000001 × 6371000     		dr = 42864.7251000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.42951462) × cos(-0.98714919) × R
    0.01227185 × 0.55107097894133 × 6371000     		do = 43084.9093633008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.42951462) × cos(-0.99387729) × R
    0.01227185 × 0.545444229211031 × 6371000     		du = 42644.9878079948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98714919)-sin(-0.99387729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55107097894133-0.545444229211031)×R²
    abs(0.42951462-0.41724277)×0.00562674973029886×R²
    0.01227185×0.00562674973029886×6371000²
    0.01227185×0.00562674973029886×40589641000000     		ar = 1837401168.74167m²