Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29184 / 45568
↖ ↑ ↗
← S 57.326521°
W 19.687500°		 ← 329.77 m → S 57.326521°
W 19.682007°		 →
↑
329.76 m
↓
↑
329.76 m
↓
S 57.329487°
W 19.687500°		 ← 329.74 m →
108 741 m²		 S 57.329487°
W 19.682007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445320129394531 y=0.695320129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445320129394531 × 216)
    floor (0.445320129394531 × 65536)
    floor (29184.5)     		tx = 29184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.695320129394531 × 216)
    floor (0.695320129394531 × 65536)
    floor (45568.5)     		ty = 45568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29184 / 45568 ti = "16/29184/45568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29184/45568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29184 ÷ 216
    29184 ÷ 65536     		x = 0.4453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45568 ÷ 216
    45568 ÷ 65536     		y = 0.6953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4453125 × 2 - 1) × π
    -0.109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6953125 × 2 - 1) × π
    -0.390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.22718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34361170} λ = -0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.22718463027344))-π/2
    2×atan(0.293116648843543)-π/2
    2×0.28512989135969-π/2
    0.57025978271938-1.57079632675     		φ = -1.00053654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00053654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.326521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29184 KachelY 45568 -0.34361170 -1.00053654 -19.687500 -57.326521
    Oben rechts KachelX + 1 29185 KachelY 45568 -0.34351582 -1.00053654 -19.682007 -57.326521
    Unten links KachelX 29184 KachelY + 1 45569 -0.34361170 -1.00058830 -19.687500 -57.329487
    Unten rechts KachelX + 1 29185 KachelY + 1 45569 -0.34351582 -1.00058830 -19.682007 -57.329487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00053654--1.00058830) × R
    5.17600000000673e-05 × 6371000     		dl = 329.762960000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00053654--1.00058830) × R
    5.17600000000673e-05 × 6371000     		dr = 329.762960000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34361170--0.34351582) × cos(-1.00053654) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.539850745277805 × 6371000     		do = 329.768626732025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34361170--0.34351582) × cos(-1.00058830) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.539807175017861 × 6371000     		du = 329.742011774254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00053654)-sin(-1.00058830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539850745277805-0.539807175017861)×R²
    abs(-0.34351582--0.34361170)×4.3570259943837e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.3570259943837e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.3570259943837e-05×40589641000000     		ar = 108741.090176937m²