Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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9 / 295 / 297
↖ ↑ ↗
← S 27.683528°
E 27.421875°		 ← 69.234 km → S 27.683528°
E 28.125000°		 →
↑
69.036 km
↓
↑
69.036 km
↓
S 28.304381°
E 27.421875°		 ← 68.836 km →
4 765.94 km²		 S 28.304381°
E 28.125000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5771484375 y=0.5810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5771484375 × 29)
    floor (0.5771484375 × 512)
    floor (295.5)     		tx = 295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5810546875 × 29)
    floor (0.5810546875 × 512)
    floor (297.5)     		ty = 297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 295 / 297 ti = "9/295/297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/295/297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 295 ÷ 29
    295 ÷ 512     		x = 0.576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 297 ÷ 29
    297 ÷ 512     		y = 0.580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576171875 × 2 - 1) × π
    0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580078125 × 2 - 1) × π
    -0.16015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.503145698412109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47860201} λ = 0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.503145698412109))-π/2
    2×atan(0.604625694972627)-π/2
    2×0.543813806588609-π/2
    1.08762761317722-1.57079632675     		φ = -0.48316871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48316871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.683528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 295 KachelY 297 0.47860201 -0.48316871 27.421875 -27.683528
    Oben rechts KachelX + 1 296 KachelY 297 0.49087385 -0.48316871 28.125000 -27.683528
    Unten links KachelX 295 KachelY + 1 298 0.47860201 -0.49400464 27.421875 -28.304381
    Unten rechts KachelX + 1 296 KachelY + 1 298 0.49087385 -0.49400464 28.125000 -28.304381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48316871--0.49400464) × R
    0.01083593 × 6371000     		dl = 69035.71003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48316871--0.49400464) × R
    0.01083593 × 6371000     		dr = 69035.71003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47860201-0.49087385) × cos(-0.48316871) × R
    0.01227184 × 0.885527227905161 × 6371000     		do = 69233.9657163338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47860201-0.49087385) × cos(-0.49400464) × R
    0.01227184 × 0.880441101351802 × 6371000     		du = 68836.3125439325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48316871)-sin(-0.49400464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885527227905161-0.880441101351802)×R²
    abs(0.49087385-0.47860201)×0.00508612655335972×R²
    0.01227184×0.00508612655335972×6371000²
    0.01227184×0.00508612655335972×40589641000000     		ar = 4765936480.60734m²