Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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9 / 298 / 298
↖ ↑ ↗
← S 28.304381°
E 29.531250°		 ← 68.836 km → S 28.304381°
E 30.234375°		 →
↑
68.635 km
↓
↑
68.635 km
↓
S 28.921631°
E 29.531250°		 ← 68.433 km →
4 710.79 km²		 S 28.921631°
E 30.234375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5830078125 y=0.5830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5830078125 × 29)
    floor (0.5830078125 × 512)
    floor (298.5)     		tx = 298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5830078125 × 29)
    floor (0.5830078125 × 512)
    floor (298.5)     		ty = 298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 298 / 298 ti = "9/298/298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/298/298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 298 ÷ 29
    298 ÷ 512     		x = 0.58203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 298 ÷ 29
    298 ÷ 512     		y = 0.58203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58203125 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58203125 × 2 - 1) × π
    -0.1640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.515417544714844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51541754} λ = 0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515417544714844))-π/2
    2×atan(0.597251163480789)-π/2
    2×0.538395845576143-π/2
    1.07679169115229-1.57079632675     		φ = -0.49400464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49400464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.304381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 298 KachelY 298 0.51541754 -0.49400464 29.531250 -28.304381
    Oben rechts KachelX + 1 299 KachelY 298 0.52768939 -0.49400464 30.234375 -28.304381
    Unten links KachelX 298 KachelY + 1 299 0.51541754 -0.50477769 29.531250 -28.921631
    Unten rechts KachelX + 1 299 KachelY + 1 299 0.52768939 -0.50477769 30.234375 -28.921631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49400464--0.50477769) × R
    0.01077305 × 6371000     		dl = 68635.1015499997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49400464--0.50477769) × R
    0.01077305 × 6371000     		dr = 68635.1015499997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51541754-0.52768939) × cos(-0.49400464) × R
    0.0122718500000001 × 0.880441101351802 × 6371000     		do = 68836.3686368356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51541754-0.52768939) × cos(-0.50477769) × R
    0.0122718500000001 × 0.875282008031053 × 6371000     		du = 68433.0103098407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49400464)-sin(-0.50477769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880441101351802-0.875282008031053)×R²
    abs(0.52768939-0.51541754)×0.0051590933207486×R²
    0.0122718500000001×0.0051590933207486×6371000²
    0.0122718500000001×0.0051590933207486×40589641000000     		ar = 4710794442.62983m²