Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
5 / 30 / 26
↖ ↑ ↗
← S 74.019543°
E157.500000°		 ← 344.396 km → S 74.019543°
E168.750000°		 →
↑
313.711 km
↓
↑
313.711 km
↓
S 76.840817°
E157.500000°		 ← 284.786 km →
98 710.8 km²		 S 76.840817°
E168.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.953125 y=0.828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.953125 × 25)
    floor (0.953125 × 32)
    floor (30.5)     		tx = 30
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.828125 × 25)
    floor (0.828125 × 32)
    floor (26.5)     		ty = 26
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 30 / 26 ti = "5/30/26"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/30/26.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30 ÷ 25
    30 ÷ 32     		x = 0.9375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26 ÷ 25
    26 ÷ 32     		y = 0.8125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9375 × 2 - 1) × π
    0.875 × 3.1415926535     		Λ = 2.74889357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8125 × 2 - 1) × π
    -0.625 × 3.1415926535     		Φ = -1.9634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74889357} λ = 2.74889357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.9634954084375))-π/2
    2×atan(0.140366922701998)-π/2
    2×0.139455792601043-π/2
    0.278911585202086-1.57079632675     		φ = -1.29188474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74889357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29188474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.019543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30 KachelY 26 2.74889357 -1.29188474 157.500000 -74.019543
    Oben rechts KachelX + 1 31 KachelY 26 2.94524311 -1.29188474 168.750000 -74.019543
    Unten links KachelX 30 KachelY + 1 27 2.74889357 -1.34112525 157.500000 -76.840817
    Unten rechts KachelX + 1 31 KachelY + 1 27 2.94524311 -1.34112525 168.750000 -76.840817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29188474--1.34112525) × R
    0.04924051 × 6371000     		dl = 313711.28921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29188474--1.34112525) × R
    0.04924051 × 6371000     		dr = 313711.28921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74889357-2.94524311) × cos(-1.29188474) × R
    0.19634954 × 0.275309459649329 × 6371000     		do = 344396.41917565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74889357-2.94524311) × cos(-1.34112525) × R
    0.19634954 × 0.227657249737119 × 6371000     		du = 284786.224595066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29188474)-sin(-1.34112525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275309459649329-0.227657249737119)×R²
    abs(2.94524311-2.74889357)×0.0476522099122109×R²
    0.19634954×0.0476522099122109×6371000²
    0.19634954×0.0476522099122109×40589641000000     		ar = 98710794713.9145m²