Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 306 / 274
↖ ↑ ↗
← S 12.554564°
E 35.156250°		 ← 76.314 km → S 12.554564°
E 35.859375°		 →
↑
76.211 km
↓
↑
76.211 km
↓
S 13.239945°
E 35.156250°		 ← 76.106 km →
5 808.12 km²		 S 13.239945°
E 35.859375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5986328125 y=0.5361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5986328125 × 29)
    floor (0.5986328125 × 512)
    floor (306.5)     		tx = 306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5361328125 × 29)
    floor (0.5361328125 × 512)
    floor (274.5)     		ty = 274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 306 / 274 ti = "9/306/274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/306/274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 306 ÷ 29
    306 ÷ 512     		x = 0.59765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 274 ÷ 29
    274 ÷ 512     		y = 0.53515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59765625 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53515625 × 2 - 1) × π
    -0.0703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.220893233449219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61359232} λ = 0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.220893233449219))-π/2
    2×atan(0.801802281384439)-π/2
    2×0.675838928538151-π/2
    1.3516778570763-1.57079632675     		φ = -0.21911847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21911847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.554564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 306 KachelY 274 0.61359232 -0.21911847 35.156250 -12.554564
    Oben rechts KachelX + 1 307 KachelY 274 0.62586416 -0.21911847 35.859375 -12.554564
    Unten links KachelX 306 KachelY + 1 275 0.61359232 -0.23108064 35.156250 -13.239945
    Unten rechts KachelX + 1 307 KachelY + 1 275 0.62586416 -0.23108064 35.859375 -13.239945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21911847--0.23108064) × R
    0.01196217 × 6371000     		dl = 76210.98507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21911847--0.23108064) × R
    0.01196217 × 6371000     		dr = 76210.98507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61359232-0.62586416) × cos(-0.21911847) × R
    0.01227184 × 0.976089446082766 × 6371000     		do = 76314.4724595722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61359232-0.62586416) × cos(-0.23108064) × R
    0.01227184 × 0.973419464906907 × 6371000     		du = 76105.7229379681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21911847)-sin(-0.23108064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976089446082766-0.973419464906907)×R²
    abs(0.62586416-0.61359232)×0.00266998117585848×R²
    0.01227184×0.00266998117585848×6371000²
    0.01227184×0.00266998117585848×40589641000000     		ar = 5808115876.71052m²