Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30721 / 30719
↖ ↑ ↗
← N 11.183791°
W 11.244507°		 ← 599.25 m → N 11.183791°
W 11.239013°		 →
↑
599.19 m
↓
↑
599.19 m
↓
N 11.178402°
W 11.244507°		 ← 599.26 m →
359 070 m²		 N 11.178402°
W 11.239013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468772888183594 y=0.468742370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468772888183594 × 216)
    floor (0.468772888183594 × 65536)
    floor (30721.5)     		tx = 30721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468742370605469 × 216)
    floor (0.468742370605469 × 65536)
    floor (30719.5)     		ty = 30719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30721 / 30719 ti = "16/30721/30719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30721/30719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30721 ÷ 216
    30721 ÷ 65536     		x = 0.468765258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30719 ÷ 216
    30719 ÷ 65536     		y = 0.468734741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468765258789062 × 2 - 1) × π
    -0.062469482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19625367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468734741210938 × 2 - 1) × π
    0.062530517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.19644541464299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19625367} λ = -0.19625367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.19644541464299))-π/2
    2×atan(1.21706888492541)-π/2
    2×0.882995149316607-π/2
    1.76599029863321-1.57079632675     		φ = 0.19519397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19625367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.244507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19519397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.183791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30721 KachelY 30719 -0.19625367 0.19519397 -11.244507 11.183791
    Oben rechts KachelX + 1 30722 KachelY 30719 -0.19615779 0.19519397 -11.239013 11.183791
    Unten links KachelX 30721 KachelY + 1 30720 -0.19625367 0.19509992 -11.244507 11.178402
    Unten rechts KachelX + 1 30722 KachelY + 1 30720 -0.19615779 0.19509992 -11.239013 11.178402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19519397-0.19509992) × R
    9.40499999999844e-05 × 6371000     		dl = 599.192549999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19519397-0.19509992) × R
    9.40499999999844e-05 × 6371000     		dr = 599.192549999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19625367--0.19615779) × cos(0.19519397) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.981010066199381 × 6371000     		do = 599.251450832744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19625367--0.19615779) × cos(0.19509992) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.981028303500043 × 6371000     		du = 599.262591114844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19519397)-sin(0.19509992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981010066199381-0.981028303500043)×R²
    abs(-0.19615779--0.19625367)×1.82373006623049e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.82373006623049e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.82373006623049e-05×40589641000000     		ar = 359070.342767317m²