Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3073 / 3071
↖ ↑ ↗
← S 66.478208°
E 90.087891°		 ← 3 900.38 m → S 66.478208°
E 90.175781°		 →
↑
3 897.65 m
↓
↑
3 897.65 m
↓
S 66.513260°
E 90.087891°		 ← 3 894.89 m →
15 191 624 m²		 S 66.513260°
E 90.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7503662109375 y=0.7498779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7503662109375 × 212)
    floor (0.7503662109375 × 4096)
    floor (3073.5)     		tx = 3073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7498779296875 × 212)
    floor (0.7498779296875 × 4096)
    floor (3071.5)     		ty = 3071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3073 / 3071 ti = "12/3073/3071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3073/3071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3073 ÷ 212
    3073 ÷ 4096     		x = 0.750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3071 ÷ 212
    3071 ÷ 4096     		y = 0.749755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750244140625 × 2 - 1) × π
    0.50048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57233031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.49951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56926234596216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57233031} λ = 1.57233031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56926234596216))-π/2
    2×atan(0.208198704341934)-π/2
    2×0.205266356938198-π/2
    0.410532713876396-1.57079632675     		φ = -1.16026361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57233031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16026361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.478208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3073 KachelY 3071 1.57233031 -1.16026361 90.087891 -66.478208
    Oben rechts KachelX + 1 3074 KachelY 3071 1.57386429 -1.16026361 90.175781 -66.478208
    Unten links KachelX 3073 KachelY + 1 3072 1.57233031 -1.16087539 90.087891 -66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 3074 KachelY + 1 3072 1.57386429 -1.16087539 90.175781 -66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16026361--1.16087539) × R
    0.000611780000000062 × 6371000     		dl = 3897.65038000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16026361--1.16087539) × R
    0.000611780000000062 × 6371000     		dr = 3897.65038000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57233031-1.57386429) × cos(-1.16026361) × R
    0.00153398000000005 × 0.399097837066471 × 6371000     		do = 3900.37780575776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57233031-1.57386429) × cos(-1.16087539) × R
    0.00153398000000005 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 3894.89495662181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16026361)-sin(-1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399097837066471-0.398536816226928)×R²
    abs(1.57386429-1.57233031)×0.000561020839542792×R²
    0.00153398000000005×0.000561020839542792×6371000²
    0.00153398000000005×0.000561020839542792×40589641000000     		ar = 15191624.3960734m²