Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3074 / 3074
↖ ↑ ↗
← S 66.583217°
E 90.175781°		 ← 3 883.95 m → S 66.583217°
E 90.263672°		 →
↑
3 881.21 m
↓
↑
3 881.21 m
↓
S 66.618122°
E 90.175781°		 ← 3 878.48 m →
15 063 827 m²		 S 66.618122°
E 90.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7506103515625 y=0.7506103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7506103515625 × 212)
    floor (0.7506103515625 × 4096)
    floor (3074.5)     		tx = 3074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7506103515625 × 212)
    floor (0.7506103515625 × 4096)
    floor (3074.5)     		ty = 3074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3074 / 3074 ti = "12/3074/3074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3074/3074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3074 ÷ 212
    3074 ÷ 4096     		x = 0.75048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3074 ÷ 212
    3074 ÷ 4096     		y = 0.75048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75048828125 × 2 - 1) × π
    0.5009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57386429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75048828125 × 2 - 1) × π
    -0.5009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57386428832568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57386429} λ = 1.57386429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57386428832568))-π/2
    2×atan(0.207242787129374)-π/2
    2×0.20434997955125-π/2
    0.408699959102499-1.57079632675     		φ = -1.16209637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57386429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16209637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.583217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3074 KachelY 3074 1.57386429 -1.16209637 90.175781 -66.583217
    Oben rechts KachelX + 1 3075 KachelY 3074 1.57539827 -1.16209637 90.263672 -66.583217
    Unten links KachelX 3074 KachelY + 1 3075 1.57386429 -1.16270557 90.175781 -66.618122
    Unten rechts KachelX + 1 3075 KachelY + 1 3075 1.57539827 -1.16270557 90.263672 -66.618122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16209637--1.16270557) × R
    0.000609199999999976 × 6371000     		dl = 3881.21319999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16209637--1.16270557) × R
    0.000609199999999976 × 6371000     		dr = 3881.21319999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57386429-1.57539827) × cos(-1.16209637) × R
    0.00153398000000005 × 0.39741669477909 × 6371000     		do = 3883.94802474412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57386429-1.57539827) × cos(-1.16270557) × R
    0.00153398000000005 × 0.396857595841942 × 6371000     		du = 3878.48395833448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16209637)-sin(-1.16270557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39741669477909-0.396857595841942)×R²
    abs(1.57539827-1.57386429)×0.000559098937148284×R²
    0.00153398000000005×0.000559098937148284×6371000²
    0.00153398000000005×0.000559098937148284×40589641000000     		ar = 15063827.2042935m²