Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30752 / 30752
↖ ↑ ↗
← N 11.005904°
W 11.074219°		 ← 599.55 m → N 11.005904°
W 11.068726°		 →
↑
599.57 m
↓
↑
599.57 m
↓
N 11.000512°
W 11.074219°		 ← 599.56 m →
359 481 m²		 N 11.000512°
W 11.068726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469245910644531 y=0.469245910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469245910644531 × 216)
    floor (0.469245910644531 × 65536)
    floor (30752.5)     		tx = 30752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469245910644531 × 216)
    floor (0.469245910644531 × 65536)
    floor (30752.5)     		ty = 30752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30752 / 30752 ti = "16/30752/30752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30752/30752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30752 ÷ 216
    30752 ÷ 65536     		x = 0.46923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30752 ÷ 216
    30752 ÷ 65536     		y = 0.46923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19328158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46923828125 × 2 - 1) × π
    0.0615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.193281579268066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19328158} λ = -0.19328158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.193281579268066))-π/2
    2×atan(1.21322436425573)-π/2
    2×0.881442798385229-π/2
    1.76288559677046-1.57079632675     		φ = 0.19208927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19328158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19208927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.005904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30752 KachelY 30752 -0.19328158 0.19208927 -11.074219 11.005904
    Oben rechts KachelX + 1 30753 KachelY 30752 -0.19318571 0.19208927 -11.068726 11.005904
    Unten links KachelX 30752 KachelY + 1 30753 -0.19328158 0.19199516 -11.074219 11.000512
    Unten rechts KachelX + 1 30753 KachelY + 1 30753 -0.19318571 0.19199516 -11.068726 11.000512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19208927-0.19199516) × R
    9.41100000000084e-05 × 6371000     		dl = 599.574810000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19208927-0.19199516) × R
    9.41100000000084e-05 × 6371000     		dr = 599.574810000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19328158--0.19318571) × cos(0.19208927) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981607514933233 × 6371000     		do = 599.553865061298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19328158--0.19318571) × cos(0.19199516) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981625477140834 × 6371000     		du = 599.564836158023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19208927)-sin(0.19199516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981607514933233-0.981625477140834)×R²
    abs(-0.19318571--0.19328158)×1.79622076011965e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.79622076011965e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.79622076011965e-05×40589641000000     		ar = 359480.683990896m²