Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3077 / 3077
↖ ↑ ↗
← S 66.687784°
E 90.439453°		 ← 3 867.57 m → S 66.687784°
E 90.527344°		 →
↑
3 864.84 m
↓
↑
3 864.84 m
↓
S 66.722541°
E 90.439453°		 ← 3 862.13 m →
14 937 034 m²		 S 66.722541°
E 90.527344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7513427734375 y=0.7513427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7513427734375 × 212)
    floor (0.7513427734375 × 4096)
    floor (3077.5)     		tx = 3077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7513427734375 × 212)
    floor (0.7513427734375 × 4096)
    floor (3077.5)     		ty = 3077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3077 / 3077 ti = "12/3077/3077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3077/3077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3077 ÷ 212
    3077 ÷ 4096     		x = 0.751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3077 ÷ 212
    3077 ÷ 4096     		y = 0.751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751220703125 × 2 - 1) × π
    0.50244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57846623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.50244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57846623068921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57846623} λ = 1.57846623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57846623068921))-π/2
    2×atan(0.206291258886093)-π/2
    2×0.203437463788568-π/2
    0.406874927577137-1.57079632675     		φ = -1.16392140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57846623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16392140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.687784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3077 KachelY 3077 1.57846623 -1.16392140 90.439453 -66.687784
    Oben rechts KachelX + 1 3078 KachelY 3077 1.58000021 -1.16392140 90.527344 -66.687784
    Unten links KachelX 3077 KachelY + 1 3078 1.57846623 -1.16452803 90.439453 -66.722541
    Unten rechts KachelX + 1 3078 KachelY + 1 3078 1.58000021 -1.16452803 90.527344 -66.722541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16392140--1.16452803) × R
    0.000606630000000052 × 6371000     		dl = 3864.83973000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16392140--1.16452803) × R
    0.000606630000000052 × 6371000     		dr = 3864.83973000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57846623-1.58000021) × cos(-1.16392140) × R
    0.00153397999999982 × 0.395741316516025 × 6371000     		do = 3867.5745754622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57846623-1.58000021) × cos(-1.16452803) × R
    0.00153397999999982 × 0.395184137778101 × 6371000     		du = 3862.12927513381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16392140)-sin(-1.16452803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395741316516025-0.395184137778101)×R²
    abs(1.58000021-1.57846623)×0.000557178737923769×R²
    0.00153397999999982×0.000557178737923769×6371000²
    0.00153397999999982×0.000557178737923769×40589641000000     		ar = 14937033.7295349m²