Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30784 / 34880
↖ ↑ ↗
← S 11.523088°
W 10.898438°		 ← 598.54 m → S 11.523088°
W 10.892944°		 →
↑
598.49 m
↓
↑
598.49 m
↓
S 11.528470°
W 10.898438°		 ← 598.53 m →
358 217 m²		 S 11.528470°
W 10.892944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469734191894531 y=0.532234191894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469734191894531 × 216)
    floor (0.469734191894531 × 65536)
    floor (30784.5)     		tx = 30784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532234191894531 × 216)
    floor (0.532234191894531 × 65536)
    floor (34880.5)     		ty = 34880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30784 / 34880 ti = "16/30784/34880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30784/34880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30784 ÷ 216
    30784 ÷ 65536     		x = 0.4697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34880 ÷ 216
    34880 ÷ 65536     		y = 0.5322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4697265625 × 2 - 1) × π
    -0.060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19021362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5322265625 × 2 - 1) × π
    -0.064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.202485463995117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19021362} λ = -0.19021362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.202485463995117))-π/2
    2×atan(0.816698354043091)-π/2
    2×0.684840254905144-π/2
    1.36968050981029-1.57079632675     		φ = -0.20111582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19021362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20111582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.523088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30784 KachelY 34880 -0.19021362 -0.20111582 -10.898438 -11.523088
    Oben rechts KachelX + 1 30785 KachelY 34880 -0.19011774 -0.20111582 -10.892944 -11.523088
    Unten links KachelX 30784 KachelY + 1 34881 -0.19021362 -0.20120976 -10.898438 -11.528470
    Unten rechts KachelX + 1 30785 KachelY + 1 34881 -0.19011774 -0.20120976 -10.892944 -11.528470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20111582--0.20120976) × R
    9.39399999999868e-05 × 6371000     		dl = 598.491739999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20111582--0.20120976) × R
    9.39399999999868e-05 × 6371000     		dr = 598.491739999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19021362--0.19011774) × cos(-0.20111582) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979844288556578 × 6371000     		do = 598.539333834287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19021362--0.19011774) × cos(-0.20120976) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979825518517175 × 6371000     		du = 598.527868127938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20111582)-sin(-0.20120976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979844288556578-0.979825518517175)×R²
    abs(-0.19011774--0.19021362)×1.8770039402205e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.8770039402205e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.8770039402205e-05×40589641000000     		ar = 358217.416563023m²