Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3112 / 3112
↖ ↑ ↗
← S 67.875541°
E 93.515625°		 ← 3 680.70 m → S 67.875541°
E 93.603516°		 →
↑
3 678.11 m
↓
↑
3 678.11 m
↓
S 67.908619°
E 93.515625°		 ← 3 675.47 m →
13 528 390 m²		 S 67.908619°
E 93.603516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7598876953125 y=0.7598876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7598876953125 × 212)
    floor (0.7598876953125 × 4096)
    floor (3112.5)     		tx = 3112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7598876953125 × 212)
    floor (0.7598876953125 × 4096)
    floor (3112.5)     		ty = 3112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3112 / 3112 ti = "12/3112/3112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3112/3112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3112 ÷ 212
    3112 ÷ 4096     		x = 0.759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3112 ÷ 212
    3112 ÷ 4096     		y = 0.759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759765625 × 2 - 1) × π
    0.51953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63215556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759765625 × 2 - 1) × π
    -0.51953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63215555826367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63215556} λ = 1.63215556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63215555826367))-π/2
    2×atan(0.195507691374084)-π/2
    2×0.193072324369246-π/2
    0.386144648738491-1.57079632675     		φ = -1.18465168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63215556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18465168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.875541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3112 KachelY 3112 1.63215556 -1.18465168 93.515625 -67.875541
    Oben rechts KachelX + 1 3113 KachelY 3112 1.63368954 -1.18465168 93.603516 -67.875541
    Unten links KachelX 3112 KachelY + 1 3113 1.63215556 -1.18522900 93.515625 -67.908619
    Unten rechts KachelX + 1 3113 KachelY + 1 3113 1.63368954 -1.18522900 93.603516 -67.908619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18465168--1.18522900) × R
    0.000577320000000103 × 6371000     		dl = 3678.10572000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18465168--1.18522900) × R
    0.000577320000000103 × 6371000     		dr = 3678.10572000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63215556-1.63368954) × cos(-1.18465168) × R
    0.00153398000000005 × 0.376619747339496 × 6371000     		do = 3680.69973651199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63215556-1.63368954) × cos(-1.18522900) × R
    0.00153398000000005 × 0.376084873864947 × 6371000     		du = 3675.47242522323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18465168)-sin(-1.18522900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376619747339496-0.376084873864947)×R²
    abs(1.63368954-1.63215556)×0.000534873474548669×R²
    0.00153398000000005×0.000534873474548669×6371000²
    0.00153398000000005×0.000534873474548669×40589641000000     		ar = 13528389.8284424m²