Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3136 / 3136
↖ ↑ ↗
← S 68.656555°
E 95.625000°		 ← 3 556.95 m → S 68.656555°
E 95.712891°		 →
↑
3 554.38 m
↓
↑
3 554.38 m
↓
S 68.688520°
E 95.625000°		 ← 3 551.87 m →
12 633 738 m²		 S 68.688520°
E 95.712891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7657470703125 y=0.7657470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7657470703125 × 212)
    floor (0.7657470703125 × 4096)
    floor (3136.5)     		tx = 3136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7657470703125 × 212)
    floor (0.7657470703125 × 4096)
    floor (3136.5)     		ty = 3136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3136 / 3136 ti = "12/3136/3136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3136/3136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3136 ÷ 212
    3136 ÷ 4096     		x = 0.765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3136 ÷ 212
    3136 ÷ 4096     		y = 0.765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765625 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66897110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765625 × 2 - 1) × π
    -0.53125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66897109717187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66897110} λ = 1.66897110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66897109717187))-π/2
    2×atan(0.188440853254186)-π/2
    2×0.186256694625859-π/2
    0.372513389251717-1.57079632675     		φ = -1.19828294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66897110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19828294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.656555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3136 KachelY 3136 1.66897110 -1.19828294 95.625000 -68.656555
    Oben rechts KachelX + 1 3137 KachelY 3136 1.67050508 -1.19828294 95.712891 -68.656555
    Unten links KachelX 3136 KachelY + 1 3137 1.66897110 -1.19884084 95.625000 -68.688520
    Unten rechts KachelX + 1 3137 KachelY + 1 3137 1.67050508 -1.19884084 95.712891 -68.688520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19828294--1.19884084) × R
    0.0005579 × 6371000     		dl = 3554.3809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19828294--1.19884084) × R
    0.0005579 × 6371000     		dr = 3554.3809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66897110-1.67050508) × cos(-1.19828294) × R
    0.00153398000000005 × 0.363957586554578 × 6371000     		do = 3556.95260908718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66897110-1.67050508) × cos(-1.19884084) × R
    0.00153398000000005 × 0.363437893220304 × 6371000     		du = 3551.87365310561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19828294)-sin(-1.19884084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363957586554578-0.363437893220304)×R²
    abs(1.67050508-1.66897110)×0.000519693334273708×R²
    0.00153398000000005×0.000519693334273708×6371000²
    0.00153398000000005×0.000519693334273708×40589641000000     		ar = 12633738.471573m²