Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32258 / 34306
↖ ↑ ↗
← S  8.418036°
W  2.801514°		 ← 604.27 m → S  8.418036°
W  2.796020°		 →
↑
604.23 m
↓
↑
604.23 m
↓
S  8.423470°
W  2.801514°		 ← 604.26 m →
365 113 m²		 S  8.423470°
W  2.796020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492225646972656 y=0.523475646972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492225646972656 × 216)
    floor (0.492225646972656 × 65536)
    floor (32258.5)     		tx = 32258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523475646972656 × 216)
    floor (0.523475646972656 × 65536)
    floor (34306.5)     		ty = 34306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32258 / 34306 ti = "16/32258/34306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32258/34306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32258 ÷ 216
    32258 ÷ 65536     		x = 0.492218017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34306 ÷ 216
    34306 ÷ 65536     		y = 0.523468017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492218017578125 × 2 - 1) × π
    -0.01556396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04889564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.04693603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.147453903231293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04889564} λ = -0.04889564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147453903231293))-π/2
    2×atan(0.862902214408388)-π/2
    2×0.711936938573608-π/2
    1.42387387714722-1.57079632675     		φ = -0.14692245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04889564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.801514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14692245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.418036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32258 KachelY 34306 -0.04889564 -0.14692245 -2.801514 -8.418036
    Oben rechts KachelX + 1 32259 KachelY 34306 -0.04879976 -0.14692245 -2.796020 -8.418036
    Unten links KachelX 32258 KachelY + 1 34307 -0.04889564 -0.14701729 -2.801514 -8.423470
    Unten rechts KachelX + 1 32259 KachelY + 1 34307 -0.04879976 -0.14701729 -2.796020 -8.423470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14692245--0.14701729) × R
    9.48399999999849e-05 × 6371000     		dl = 604.225639999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14692245--0.14701729) × R
    9.48399999999849e-05 × 6371000     		dr = 604.225639999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04889564--0.04879976) × cos(-0.14692245) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.989226298057673 × 6371000     		do = 604.270348223448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04889564--0.04879976) × cos(-0.14701729) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.989212409560414 × 6371000     		du = 604.261864414342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14692245)-sin(-0.14701729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989226298057673-0.989212409560414)×R²
    abs(-0.04879976--0.04889564)×1.38884972593623e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.38884972593623e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.38884972593623e-05×40589641000000     		ar = 365113.075094484m²