Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32514 / 33538
↖ ↑ ↗
← S  4.225899°
W  1.395264°		 ← 609.19 m → S  4.225899°
W  1.389770°		 →
↑
609.20 m
↓
↑
609.20 m
↓
S  4.231378°
W  1.395264°		 ← 609.19 m →
371 115 m²		 S  4.231378°
W  1.389770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496131896972656 y=0.511756896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496131896972656 × 216)
    floor (0.496131896972656 × 65536)
    floor (32514.5)     		tx = 32514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511756896972656 × 216)
    floor (0.511756896972656 × 65536)
    floor (33538.5)     		ty = 33538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32514 / 33538 ti = "16/32514/33538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32514/33538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32514 ÷ 216
    32514 ÷ 65536     		x = 0.496124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33538 ÷ 216
    33538 ÷ 65536     		y = 0.511749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.00775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02435195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.511749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.02349853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0738228254148865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02435195} λ = -0.02435195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0738228254148865))-π/2
    2×atan(0.9288362454401)-π/2
    2×0.748520231778593-π/2
    1.49704046355719-1.57079632675     		φ = -0.07375586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02435195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.395264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07375586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.225899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32514 KachelY 33538 -0.02435195 -0.07375586 -1.395264 -4.225899
    Oben rechts KachelX + 1 32515 KachelY 33538 -0.02425607 -0.07375586 -1.389770 -4.225899
    Unten links KachelX 32514 KachelY + 1 33539 -0.02435195 -0.07385148 -1.395264 -4.231378
    Unten rechts KachelX + 1 32515 KachelY + 1 33539 -0.02425607 -0.07385148 -1.389770 -4.231378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07375586--0.07385148) × R
    9.56199999999907e-05 × 6371000     		dl = 609.195019999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07375586--0.07385148) × R
    9.56199999999907e-05 × 6371000     		dr = 609.195019999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02435195--0.02425607) × cos(-0.07375586) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.997281269367786 × 6371000     		do = 609.190739369588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02435195--0.02425607) × cos(-0.07385148) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.997274218665774 × 6371000     		du = 609.186432437829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07375586)-sin(-0.07385148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997281269367786-0.997274218665774)×R²
    abs(-0.02425607--0.02435195)×7.0507020119015e-06×R²
    9.58799999999996e-05×7.0507020119015e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×7.0507020119015e-06×40589641000000     		ar = 371114.653056098m²