Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32744 / 32792
↖ ↑ ↗
← S  0.131836°
W  0.131836°		 ← 610.79 m → S  0.131836°
W  0.126343°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.137329°
W  0.131836°		 ← 610.79 m →
373 061 m²		 S  0.137329°
W  0.126343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499641418457031 y=0.500373840332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499641418457031 × 216)
    floor (0.499641418457031 × 65536)
    floor (32744.5)     		tx = 32744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500373840332031 × 216)
    floor (0.500373840332031 × 65536)
    floor (32792.5)     		ty = 32792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32744 / 32792 ti = "16/32744/32792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32744/32792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32744 ÷ 216
    32744 ÷ 65536     		x = 0.4996337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32792 ÷ 216
    32792 ÷ 65536     		y = 0.5003662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4996337890625 × 2 - 1) × π
    -0.000732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00230097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5003662109375 × 2 - 1) × π
    -0.000732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0023009711817627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00230097} λ = -0.00230097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0023009711817627))-π/2
    2×atan(0.997701674023191)-π/2
    2×0.784247678821767-π/2
    1.56849535764353-1.57079632675     		φ = -0.00230097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00230097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.131836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00230097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.131836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32744 KachelY 32792 -0.00230097 -0.00230097 -0.131836 -0.131836
    Oben rechts KachelX + 1 32745 KachelY 32792 -0.00220510 -0.00230097 -0.126343 -0.131836
    Unten links KachelX 32744 KachelY + 1 32793 -0.00230097 -0.00239684 -0.131836 -0.137329
    Unten rechts KachelX + 1 32745 KachelY + 1 32793 -0.00220510 -0.00239684 -0.126343 -0.137329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00230097--0.00239684) × R
    9.58700000000001e-05 × 6371000     		dl = 610.78777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00230097--0.00239684) × R
    9.58700000000001e-05 × 6371000     		dr = 610.78777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00230097--0.00220510) × cos(-0.00230097) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999997352769697 × 6371000     		do = 610.786153104105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00230097--0.00220510) × cos(-0.00239684) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999997127580382 × 6371000     		du = 610.786015561225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00230097)-sin(-0.00239684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999997352769697-0.999997127580382)×R²
    abs(-0.00220510--0.00230097)×2.25189315194996e-07×R²
    9.58699999999996e-05×2.25189315194996e-07×6371000²
    9.58699999999996e-05×2.25189315194996e-07×40589641000000     		ar = 373060.670682317m²