Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32756 / 32820
S  0.285644°
W  0.065918°
← 610.84 m → S  0.285644°
W  0.060425°

610.79 m

610.79 m
S  0.291136°
W  0.065918°
← 610.84 m →
373 096 m²
S  0.291136°
W  0.060425°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499824523925781 y=0.500801086425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499824523925781 × 216)
    floor (0.499824523925781 × 65536)
    floor (32756.5)
    tx = 32756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500801086425781 × 216)
    floor (0.500801086425781 × 65536)
    floor (32820.5)
    ty = 32820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32756 / 32820 ti = "16/32756/32820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32756/32820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32756 ÷ 216
    32756 ÷ 65536
    x = 0.49981689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32820 ÷ 216
    32820 ÷ 65536
    y = 0.50079345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.49981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.0003662109375 × 3.1415926535
    Λ = -0.00115049
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.50079345703125 × 2 - 1) × π
    -0.0015869140625 × 3.1415926535
    Φ = -0.00498543756048584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00115049} λ = -0.00115049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00498543756048584))-π/2
    2×atan(0.99502696910723)-π/2
    2×0.782905454943058-π/2
    1.56581090988612-1.57079632675
    φ = -0.00498542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00115049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.065918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00498542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.285644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32756 KachelY 32820 -0.00115049 -0.00498542 -0.065918 -0.285644
    Oben rechts KachelX + 1 32757 KachelY 32820 -0.00105461 -0.00498542 -0.060425 -0.285644
    Unten links KachelX 32756 KachelY + 1 32821 -0.00115049 -0.00508129 -0.065918 -0.291136
    Unten rechts KachelX + 1 32757 KachelY + 1 32821 -0.00105461 -0.00508129 -0.060425 -0.291136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.00498542--0.00508129) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000
    dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.00498542--0.00508129) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000
    dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00115049--0.00105461) × cos(-0.00498542) × R
    9.588e-05 × 0.999987572819451 × 6371000
    do = 610.843888838369m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00115049--0.00105461) × cos(-0.00508129) × R
    9.588e-05 × 0.999987090273745 × 6371000
    du = 610.843594074611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.00498542)-sin(-0.00508129))×
    abs(λ12)×abs(0.999987572819451-0.999987090273745)×
    abs(-0.00105461--0.00115049)×4.82545706170789e-07×
    9.588e-05×4.82545706170789e-07×6371000²
    9.588e-05×4.82545706170789e-07×40589641000000
    ar = 373095.886948428m²