Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32760 / 32792
↖ ↑ ↗
← S  0.131836°
W  0.043945°		 ← 610.79 m → S  0.131836°
W  0.038452°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.137329°
W  0.043945°		 ← 610.79 m →
373 061 m²		 S  0.137329°
W  0.038452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499885559082031 y=0.500373840332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499885559082031 × 216)
    floor (0.499885559082031 × 65536)
    floor (32760.5)     		tx = 32760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500373840332031 × 216)
    floor (0.500373840332031 × 65536)
    floor (32792.5)     		ty = 32792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32760 / 32792 ti = "16/32760/32792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32760/32792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32760 ÷ 216
    32760 ÷ 65536     		x = 0.4998779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32792 ÷ 216
    32792 ÷ 65536     		y = 0.5003662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4998779296875 × 2 - 1) × π
    -0.000244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00076699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5003662109375 × 2 - 1) × π
    -0.000732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0023009711817627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00076699} λ = -0.00076699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0023009711817627))-π/2
    2×atan(0.997701674023191)-π/2
    2×0.784247678821767-π/2
    1.56849535764353-1.57079632675     		φ = -0.00230097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00076699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00230097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.131836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32760 KachelY 32792 -0.00076699 -0.00230097 -0.043945 -0.131836
    Oben rechts KachelX + 1 32761 KachelY 32792 -0.00067112 -0.00230097 -0.038452 -0.131836
    Unten links KachelX 32760 KachelY + 1 32793 -0.00076699 -0.00239684 -0.043945 -0.137329
    Unten rechts KachelX + 1 32761 KachelY + 1 32793 -0.00067112 -0.00239684 -0.038452 -0.137329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00230097--0.00239684) × R
    9.58700000000001e-05 × 6371000     		dl = 610.78777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00230097--0.00239684) × R
    9.58700000000001e-05 × 6371000     		dr = 610.78777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00076699--0.00067112) × cos(-0.00230097) × R
    9.587e-05 × 0.999997352769697 × 6371000     		do = 610.786153104107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00076699--0.00067112) × cos(-0.00239684) × R
    9.587e-05 × 0.999997127580382 × 6371000     		du = 610.786015561227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00230097)-sin(-0.00239684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999997352769697-0.999997127580382)×R²
    abs(-0.00067112--0.00076699)×2.25189315194996e-07×R²
    9.587e-05×2.25189315194996e-07×6371000²
    9.587e-05×2.25189315194996e-07×40589641000000     		ar = 373060.670682318m²