Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32762 / 32762
↖ ↑ ↗
← N  0.032959°
W  0.032959°		 ← 610.79 m → N  0.032959°
W  0.027466°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.027466°
W  0.032959°		 ← 610.79 m →
373 062 m²		 N  0.027466°
W  0.027466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499916076660156 y=0.499916076660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499916076660156 × 216)
    floor (0.499916076660156 × 65536)
    floor (32762.5)     		tx = 32762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499916076660156 × 216)
    floor (0.499916076660156 × 65536)
    floor (32762.5)     		ty = 32762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32762 / 32762 ti = "16/32762/32762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32762/32762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32762 ÷ 216
    32762 ÷ 65536     		x = 0.499908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32762 ÷ 216
    32762 ÷ 65536     		y = 0.499908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.00018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00057524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499908447265625 × 2 - 1) × π
    0.00018310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.000575242795440674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00057524} λ = -0.00057524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.000575242795440674))-π/2
    2×atan(1.00057540827931)-π/2
    2×0.785685784779306-π/2
    1.57137156955861-1.57079632675     		φ = 0.00057524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00057524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.032959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00057524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.032959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32762 KachelY 32762 -0.00057524 0.00057524 -0.032959 0.032959
    Oben rechts KachelX + 1 32763 KachelY 32762 -0.00047937 0.00057524 -0.027466 0.032959
    Unten links KachelX 32762 KachelY + 1 32763 -0.00057524 0.00047937 -0.032959 0.027466
    Unten rechts KachelX + 1 32763 KachelY + 1 32763 -0.00047937 0.00047937 -0.027466 0.027466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00057524-0.00047937) × R
    9.587e-05 × 6371000     		dl = 610.78777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00057524-0.00047937) × R
    9.587e-05 × 6371000     		dr = 610.78777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00057524--0.00047937) × cos(0.00057524) × R
    9.587e-05 × 0.999999834549476 × 6371000     		do = 610.787668944843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00057524--0.00047937) × cos(0.00047937) × R
    9.587e-05 × 0.999999885102204 × 6371000     		du = 610.787699821831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00057524)-sin(0.00047937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999834549476-0.999999885102204)×R²
    abs(-0.00047937--0.00057524)×5.05527280036944e-08×R²
    9.587e-05×5.05527280036944e-08×6371000²
    9.587e-05×5.05527280036944e-08×40589641000000     		ar = 373061.647973698m²