Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32770 / 32765
↖ ↑ ↗
← N  0.016479°
E  0.010986°		 ← 610.79 m → N  0.016479°
E  0.016479°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.010986°
E  0.010986°		 ← 610.79 m →
373 062 m²		 N  0.010986°
E  0.016479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500038146972656 y=0.499961853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500038146972656 × 216)
    floor (0.500038146972656 × 65536)
    floor (32770.5)     		tx = 32770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499961853027344 × 216)
    floor (0.499961853027344 × 65536)
    floor (32765.5)     		ty = 32765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32770 / 32765 ti = "16/32770/32765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32770/32765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32770 ÷ 216
    32770 ÷ 65536     		x = 0.500030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32765 ÷ 216
    32765 ÷ 65536     		y = 0.499954223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500030517578125 × 2 - 1) × π
    6.103515625e-05 × 3.1415926535     		Λ = 0.00019175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499954223632812 × 2 - 1) × π
    9.1552734375e-05 × 3.1415926535     		Φ = 0.000287621397720337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00019175} λ = 0.00019175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.000287621397720337))-π/2
    2×atan(1.00028766276472)-π/2
    2×0.785541974094326-π/2
    1.57108394818865-1.57079632675     		φ = 0.00028762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00019175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00028762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.016479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32770 KachelY 32765 0.00019175 0.00028762 0.010986 0.016479
    Oben rechts KachelX + 1 32771 KachelY 32765 0.00028762 0.00028762 0.016479 0.016479
    Unten links KachelX 32770 KachelY + 1 32766 0.00019175 0.00019175 0.010986 0.010986
    Unten rechts KachelX + 1 32771 KachelY + 1 32766 0.00028762 0.00019175 0.016479 0.010986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00028762-0.00019175) × R
    9.587e-05 × 6371000     		dl = 610.78777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00028762-0.00019175) × R
    9.587e-05 × 6371000     		dr = 610.78777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00019175-0.00028762) × cos(0.00028762) × R
    9.587e-05 × 0.999999958637368 × 6371000     		do = 610.78774473621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00019175-0.00028762) × cos(0.00019175) × R
    9.587e-05 × 0.999999981615969 × 6371000     		du = 610.787758771258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00028762)-sin(0.00019175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999958637368-0.999999981615969)×R²
    abs(0.00028762-0.00019175)×2.29786006888943e-08×R²
    9.587e-05×2.29786006888943e-08×6371000²
    9.587e-05×2.29786006888943e-08×40589641000000     		ar = 373061.689122713m²