Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32775 / 32777
↖ ↑ ↗
← S  0.049438°
E  0.038452°		 ← 610.79 m → S  0.049438°
E  0.043945°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
S  0.054932°
E  0.038452°		 ← 610.79 m →
373 100 m²		 S  0.054932°
E  0.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500114440917969 y=0.500144958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500114440917969 × 216)
    floor (0.500114440917969 × 65536)
    floor (32775.5)     		tx = 32775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500144958496094 × 216)
    floor (0.500144958496094 × 65536)
    floor (32777.5)     		ty = 32777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32775 / 32777 ti = "16/32775/32777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32775/32777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32775 ÷ 216
    32775 ÷ 65536     		x = 0.500106811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32777 ÷ 216
    32777 ÷ 65536     		y = 0.500137329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500106811523438 × 2 - 1) × π
    0.000213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00067112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500137329101562 × 2 - 1) × π
    -0.000274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.000862864193161011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00067112} λ = 0.00067112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.000862864193161011))-π/2
    2×atan(0.999137507967098)-π/2
    2×0.784966731354404-π/2
    1.56993346270881-1.57079632675     		φ = -0.00086286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00067112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.038452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00086286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.049438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32775 KachelY 32777 0.00067112 -0.00086286 0.038452 -0.049438
    Oben rechts KachelX + 1 32776 KachelY 32777 0.00076699 -0.00086286 0.043945 -0.049438
    Unten links KachelX 32775 KachelY + 1 32778 0.00067112 -0.00095874 0.038452 -0.054932
    Unten rechts KachelX + 1 32776 KachelY + 1 32778 0.00076699 -0.00095874 0.043945 -0.054932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00086286--0.00095874) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dl = 610.85148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00086286--0.00095874) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dr = 610.85148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00067112-0.00076699) × cos(-0.00086286) × R
    9.587e-05 × 0.999999627736333 × 6371000     		do = 610.787542625905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00067112-0.00076699) × cos(-0.00095874) × R
    9.587e-05 × 0.999999540408841 × 6371000     		du = 610.787489287341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00086286)-sin(-0.00095874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999627736333-0.999999540408841)×R²
    abs(0.00076699-0.00067112)×8.7327491904432e-08×R²
    9.587e-05×8.7327491904432e-08×6371000²
    9.587e-05×8.7327491904432e-08×40589641000000     		ar = 373100.458373452m²