Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32777 / 32775
↖ ↑ ↗
← S  0.038452°
E  0.049438°		 ← 610.85 m → S  0.038452°
E  0.054932°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.043945°
E  0.049438°		 ← 610.85 m →
373 101 m²		 S  0.043945°
E  0.054932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500144958496094 y=0.500114440917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500144958496094 × 216)
    floor (0.500144958496094 × 65536)
    floor (32777.5)     		tx = 32777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500114440917969 × 216)
    floor (0.500114440917969 × 65536)
    floor (32775.5)     		ty = 32775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32777 / 32775 ti = "16/32777/32775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32777/32775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32777 ÷ 216
    32777 ÷ 65536     		x = 0.500137329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32775 ÷ 216
    32775 ÷ 65536     		y = 0.500106811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500137329101562 × 2 - 1) × π
    0.000274658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00086286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500106811523438 × 2 - 1) × π
    -0.000213623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.000671116594680786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00086286} λ = 0.00086286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.000671116594680786))-π/2
    2×atan(0.999329108553691)-π/2
    2×0.785062605125297-π/2
    1.57012521025059-1.57079632675     		φ = -0.00067112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00086286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.049438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00067112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.038452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32777 KachelY 32775 0.00086286 -0.00067112 0.049438 -0.038452
    Oben rechts KachelX + 1 32778 KachelY 32775 0.00095874 -0.00067112 0.054932 -0.038452
    Unten links KachelX 32777 KachelY + 1 32776 0.00086286 -0.00076699 0.049438 -0.043945
    Unten rechts KachelX + 1 32778 KachelY + 1 32776 0.00095874 -0.00076699 0.054932 -0.043945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00067112--0.00076699) × R
    9.587e-05 × 6371000     		dl = 610.78777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00067112--0.00076699) × R
    9.587e-05 × 6371000     		dr = 610.78777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00086286-0.00095874) × cos(-0.00067112) × R
    9.588e-05 × 0.999999774798981 × 6371000     		do = 610.851342435624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00086286-0.00095874) × cos(-0.00076699) × R
    9.588e-05 × 0.999999705863184 × 6371000     		du = 610.851300326091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00067112)-sin(-0.00076699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999774798981-0.999999705863184)×R²
    abs(0.00095874-0.00086286)×6.89357969596571e-08×R²
    9.588e-05×6.89357969596571e-08×6371000²
    9.588e-05×6.89357969596571e-08×40589641000000     		ar = 373100.516673533m²