Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32785 / 32783
↖ ↑ ↗
← S  0.082398°
E  0.093384°		 ← 610.85 m → S  0.082398°
E  0.098877°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.087891°
E  0.093384°		 ← 610.85 m →
373 100 m²		 S  0.087891°
E  0.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500267028808594 y=0.500236511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500267028808594 × 216)
    floor (0.500267028808594 × 65536)
    floor (32785.5)     		tx = 32785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500236511230469 × 216)
    floor (0.500236511230469 × 65536)
    floor (32783.5)     		ty = 32783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32785 / 32783 ti = "16/32785/32783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32785/32783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32785 ÷ 216
    32785 ÷ 65536     		x = 0.500259399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32783 ÷ 216
    32783 ÷ 65536     		y = 0.500228881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500259399414062 × 2 - 1) × π
    0.000518798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00162985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500228881835938 × 2 - 1) × π
    -0.000457763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00143810698860168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00162985} λ = 0.00162985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00143810698860168))-π/2
    2×atan(0.998562926591728)-π/2
    2×0.784679110150999-π/2
    1.569358220302-1.57079632675     		φ = -0.00143811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00162985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.093384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00143811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.082398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32785 KachelY 32783 0.00162985 -0.00143811 0.093384 -0.082398
    Oben rechts KachelX + 1 32786 KachelY 32783 0.00172573 -0.00143811 0.098877 -0.082398
    Unten links KachelX 32785 KachelY + 1 32784 0.00162985 -0.00153398 0.093384 -0.087891
    Unten rechts KachelX + 1 32786 KachelY + 1 32784 0.00172573 -0.00153398 0.098877 -0.087891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00143811--0.00153398) × R
    9.58699999999999e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00143811--0.00153398) × R
    9.58699999999999e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00162985-0.00172573) × cos(-0.00143811) × R
    9.588e-05 × 0.999998965919992 × 6371000     		do = 610.850848330697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00162985-0.00172573) × cos(-0.00153398) × R
    9.588e-05 × 0.99999882345291 × 6371000     		du = 610.850761304469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00143811)-sin(-0.00153398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999998965919992-0.99999882345291)×R²
    abs(0.00172573-0.00162985)×1.42467081687414e-07×R²
    9.588e-05×1.42467081687414e-07×6371000²
    9.588e-05×1.42467081687414e-07×40589641000000     		ar = 373100.201163001m²