Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32803 / 32805
↖ ↑ ↗
← S  0.203246°
E  0.192261°		 ← 610.85 m → S  0.203246°
E  0.197754°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
S  0.208740°
E  0.192261°		 ← 610.85 m →
373 137 m²		 S  0.208740°
E  0.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500541687011719 y=0.500572204589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500541687011719 × 216)
    floor (0.500541687011719 × 65536)
    floor (32803.5)     		tx = 32803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500572204589844 × 216)
    floor (0.500572204589844 × 65536)
    floor (32805.5)     		ty = 32805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32803 / 32805 ti = "16/32803/32805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32803/32805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32803 ÷ 216
    32803 ÷ 65536     		x = 0.500534057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32805 ÷ 216
    32805 ÷ 65536     		y = 0.500564575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500534057617188 × 2 - 1) × π
    0.001068115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00335558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500564575195312 × 2 - 1) × π
    -0.001129150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00354733057188416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00335558} λ = 0.00335558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00354733057188416))-π/2
    2×atan(0.996458953772131)-π/2
    2×0.78362450183133-π/2
    1.56724900366266-1.57079632675     		φ = -0.00354732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00335558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.192261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00354732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.203246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32803 KachelY 32805 0.00335558 -0.00354732 0.192261 -0.203246
    Oben rechts KachelX + 1 32804 KachelY 32805 0.00345146 -0.00354732 0.197754 -0.203246
    Unten links KachelX 32803 KachelY + 1 32806 0.00335558 -0.00364320 0.192261 -0.208740
    Unten rechts KachelX + 1 32804 KachelY + 1 32806 0.00345146 -0.00364320 0.197754 -0.208740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00354732--0.00364320) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dl = 610.85148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00354732--0.00364320) × R
    9.588e-05 × 6371000     		dr = 610.85148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00335558-0.00345146) × cos(-0.00354732) × R
    9.588e-05 × 0.999993708267007 × 6371000     		do = 610.847636685589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00335558-0.00345146) × cos(-0.00364320) × R
    9.588e-05 × 0.99999336355422 × 6371000     		du = 610.847426117274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00354732)-sin(-0.00364320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999993708267007-0.99999336355422)×R²
    abs(0.00345146-0.00335558)×3.44712786093382e-07×R²
    9.588e-05×3.44712786093382e-07×6371000²
    9.588e-05×3.44712786093382e-07×40589641000000     		ar = 373137.118896765m²