Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32809 / 32807
↖ ↑ ↗
← S  0.214233°
E  0.225220°		 ← 610.78 m → S  0.214233°
E  0.230713°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.219726°
E  0.225220°		 ← 610.78 m →
373 059 m²		 S  0.219726°
E  0.230713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500633239746094 y=0.500602722167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500633239746094 × 216)
    floor (0.500633239746094 × 65536)
    floor (32809.5)     		tx = 32809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500602722167969 × 216)
    floor (0.500602722167969 × 65536)
    floor (32807.5)     		ty = 32807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32809 / 32807 ti = "16/32809/32807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32809/32807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32809 ÷ 216
    32809 ÷ 65536     		x = 0.500625610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32807 ÷ 216
    32807 ÷ 65536     		y = 0.500595092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500625610351562 × 2 - 1) × π
    0.001251220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00393083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500595092773438 × 2 - 1) × π
    -0.001190185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00373907817036438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00393083} λ = 0.00393083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00373907817036438))-π/2
    2×atan(0.996267903478064)-π/2
    2×0.783528628668497-π/2
    1.56705725733699-1.57079632675     		φ = -0.00373907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00393083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.225220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00373907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.214233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32809 KachelY 32807 0.00393083 -0.00373907 0.225220 -0.214233
    Oben rechts KachelX + 1 32810 KachelY 32807 0.00402670 -0.00373907 0.230713 -0.214233
    Unten links KachelX 32809 KachelY + 1 32808 0.00393083 -0.00383494 0.225220 -0.219726
    Unten rechts KachelX + 1 32810 KachelY + 1 32808 0.00402670 -0.00383494 0.230713 -0.219726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00373907--0.00383494) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00373907--0.00383494) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00393083-0.00402670) × cos(-0.00373907) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.999993009685912 × 6371000     		do = 610.78350040165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00393083-0.00402670) × cos(-0.00383494) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.99999264662661 × 6371000     		du = 610.783278649469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00373907)-sin(-0.00383494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999993009685912-0.99999264662661)×R²
    abs(0.00402670-0.00393083)×3.63059301400348e-07×R²
    9.58700000000005e-05×3.63059301400348e-07×6371000²
    9.58700000000005e-05×3.63059301400348e-07×40589641000000     		ar = 373059.02472709m²