Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32816 / 32720
↖ ↑ ↗
← N  0.263671°
E  0.263672°		 ← 610.85 m → N  0.263671°
E  0.269165°		 →
↑
610.85 m
↓
↑
610.85 m
↓
N  0.258178°
E  0.263672°		 ← 610.85 m →
373 136 m²		 N  0.258178°
E  0.269165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500740051269531 y=0.499275207519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500740051269531 × 216)
    floor (0.500740051269531 × 65536)
    floor (32816.5)     		tx = 32816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499275207519531 × 216)
    floor (0.499275207519531 × 65536)
    floor (32720.5)     		ty = 32720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32816 / 32720 ti = "16/32816/32720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32816/32720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32816 ÷ 216
    32816 ÷ 65536     		x = 0.500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32720 ÷ 216
    32720 ÷ 65536     		y = 0.499267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500732421875 × 2 - 1) × π
    0.00146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00460194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499267578125 × 2 - 1) × π
    0.00146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00460194236352539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00460194} λ = 0.00460194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00460194236352539))-π/2
    2×atan(1.00461254756221)-π/2
    2×0.787699126457641-π/2
    1.57539825291528-1.57079632675     		φ = 0.00460193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00460194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00460193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.263671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32816 KachelY 32720 0.00460194 0.00460193 0.263672 0.263671
    Oben rechts KachelX + 1 32817 KachelY 32720 0.00469782 0.00460193 0.269165 0.263671
    Unten links KachelX 32816 KachelY + 1 32721 0.00460194 0.00450605 0.263672 0.258178
    Unten rechts KachelX + 1 32817 KachelY + 1 32721 0.00469782 0.00450605 0.269165 0.258178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00460193-0.00450605) × R
    9.58799999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.851479999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00460193-0.00450605) × R
    9.58799999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.851479999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00460194-0.00469782) × cos(0.00460193) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.999989411138825 × 6371000     		do = 610.845011778482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00460194-0.00469782) × cos(0.00450605) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.999989847773877 × 6371000     		du = 610.84527849765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00460193)-sin(0.00450605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999989411138825-0.999989847773877)×R²
    abs(0.00469782-0.00460194)×4.36635051892509e-07×R²
    9.58800000000004e-05×4.36635051892509e-07×6371000²
    9.58800000000004e-05×4.36635051892509e-07×40589641000000     		ar = 373135.661244255m²