Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32833 / 32831
↖ ↑ ↗
← S  0.346067°
E  0.357056°		 ← 610.78 m → S  0.346067°
E  0.362549°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.351560°
E  0.357056°		 ← 610.78 m →
373 055 m²		 S  0.351560°
E  0.362549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500999450683594 y=0.500968933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500999450683594 × 216)
    floor (0.500999450683594 × 65536)
    floor (32833.5)     		tx = 32833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500968933105469 × 216)
    floor (0.500968933105469 × 65536)
    floor (32831.5)     		ty = 32831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32833 / 32831 ti = "16/32833/32831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32833/32831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32833 ÷ 216
    32833 ÷ 65536     		x = 0.500991821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32831 ÷ 216
    32831 ÷ 65536     		y = 0.500961303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500991821289062 × 2 - 1) × π
    0.001983642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00623180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500961303710938 × 2 - 1) × π
    -0.001922607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00604004935212708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00623180} λ = 0.00623180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00604004935212708))-π/2
    2×atan(0.993978155075639)-π/2
    2×0.782378157084073-π/2
    1.56475631416815-1.57079632675     		φ = -0.00604001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00623180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.357056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00604001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.346067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32833 KachelY 32831 0.00623180 -0.00604001 0.357056 -0.346067
    Oben rechts KachelX + 1 32834 KachelY 32831 0.00632767 -0.00604001 0.362549 -0.346067
    Unten links KachelX 32833 KachelY + 1 32832 0.00623180 -0.00613588 0.357056 -0.351560
    Unten rechts KachelX + 1 32834 KachelY + 1 32832 0.00632767 -0.00613588 0.362549 -0.351560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00604001--0.00613588) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00604001--0.00613588) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00623180-0.00632767) × cos(-0.00604001) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999981759195055 × 6371000     		do = 610.776628739422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00623180-0.00632767) × cos(-0.00613588) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999981175547373 × 6371000     		du = 610.776272254556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00604001)-sin(-0.00613588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999981759195055-0.999981175547373)×R²
    abs(0.00632767-0.00623180)×5.83647681628996e-07×R²
    9.58699999999996e-05×5.83647681628996e-07×6371000²
    9.58699999999996e-05×5.83647681628996e-07×40589641000000     		ar = 373054.786453299m²