Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32864 / 32672
↖ ↑ ↗
← N  0.527336°
E  0.527343°		 ← 610.83 m → N  0.527336°
E  0.532837°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
N  0.521844°
E  0.527343°		 ← 610.83 m →
373 046 m²		 N  0.521844°
E  0.532837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501472473144531 y=0.498542785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501472473144531 × 216)
    floor (0.501472473144531 × 65536)
    floor (32864.5)     		tx = 32864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498542785644531 × 216)
    floor (0.498542785644531 × 65536)
    floor (32672.5)     		ty = 32672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32864 / 32672 ti = "16/32864/32672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32864/32672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32864 ÷ 216
    32864 ÷ 65536     		x = 0.50146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32672 ÷ 216
    32672 ÷ 65536     		y = 0.49853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50146484375 × 2 - 1) × π
    0.0029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00920388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49853515625 × 2 - 1) × π
    0.0029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00920388472705078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00920388} λ = 0.00920388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00920388472705078))-π/2
    2×atan(1.00924637071944)-π/2
    2×0.790000040789447-π/2
    1.58000008157889-1.57079632675     		φ = 0.00920375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00920388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00920375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.527336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32864 KachelY 32672 0.00920388 0.00920375 0.527343 0.527336
    Oben rechts KachelX + 1 32865 KachelY 32672 0.00929976 0.00920375 0.532837 0.527336
    Unten links KachelX 32864 KachelY + 1 32673 0.00920388 0.00910789 0.527343 0.521844
    Unten rechts KachelX + 1 32865 KachelY + 1 32673 0.00929976 0.00910789 0.532837 0.521844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00920375-0.00910789) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00920375-0.00910789) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00920388-0.00929976) × cos(0.00920375) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.999957645791952 × 6371000     		do = 610.825607869338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00920388-0.00929976) × cos(0.00910789) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.999958523456594 × 6371000     		du = 610.826143992084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00920375)-sin(0.00910789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999957645791952-0.999958523456594)×R²
    abs(0.00929976-0.00920388)×8.77664642517928e-07×R²
    9.58800000000013e-05×8.77664642517928e-07×6371000²
    9.58800000000013e-05×8.77664642517928e-07×40589641000000     		ar = 373046.059187122m²