Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32900 / 33156
↖ ↑ ↗
← S  2.130856°
E  0.725098°		 ← 610.43 m → S  2.130856°
E  0.730591°		 →
↑
610.41 m
↓
↑
610.41 m
↓
S  2.136346°
E  0.725098°		 ← 610.43 m →
372 609 m²		 S  2.136346°
E  0.730591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502021789550781 y=0.505928039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502021789550781 × 216)
    floor (0.502021789550781 × 65536)
    floor (32900.5)     		tx = 32900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505928039550781 × 216)
    floor (0.505928039550781 × 65536)
    floor (33156.5)     		ty = 33156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32900 / 33156 ti = "16/32900/33156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32900/33156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32900 ÷ 216
    32900 ÷ 65536     		x = 0.50201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33156 ÷ 216
    33156 ÷ 65536     		y = 0.50592041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50201416015625 × 2 - 1) × π
    0.0040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01265534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50592041015625 × 2 - 1) × π
    -0.0118408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0371990341051636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01265534} λ = 0.01265534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0371990341051636))-π/2
    2×atan(0.963484350018331)-π/2
    2×0.766802934431368-π/2
    1.53360586886274-1.57079632675     		φ = -0.03719046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01265534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.725098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03719046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.130856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32900 KachelY 33156 0.01265534 -0.03719046 0.725098 -2.130856
    Oben rechts KachelX + 1 32901 KachelY 33156 0.01275122 -0.03719046 0.730591 -2.130856
    Unten links KachelX 32900 KachelY + 1 33157 0.01265534 -0.03728627 0.725098 -2.136346
    Unten rechts KachelX + 1 32901 KachelY + 1 33157 0.01275122 -0.03728627 0.730591 -2.136346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03719046--0.03728627) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dl = 610.405510000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03719046--0.03728627) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dr = 610.405510000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01265534-0.01275122) × cos(-0.03719046) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.999308514549214 × 6371000     		do = 610.429085088997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01265534-0.01275122) × cos(-0.03728627) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.999304947565985 × 6371000     		du = 610.426906192013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03719046)-sin(-0.03728627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999308514549214-0.999304947565985)×R²
    abs(0.01275122-0.01265534)×3.56698322900861e-06×R²
    9.58800000000013e-05×3.56698322900861e-06×6371000²
    9.58800000000013e-05×3.56698322900861e-06×40589641000000     		ar = 372608.61228226m²