Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32913 / 32911
↖ ↑ ↗
← S  0.785498°
E  0.796509°		 ← 610.73 m → S  0.785498°
E  0.802002°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.790991°
E  0.796509°		 ← 610.73 m →
373 026 m²		 S  0.790991°
E  0.802002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502220153808594 y=0.502189636230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502220153808594 × 216)
    floor (0.502220153808594 × 65536)
    floor (32913.5)     		tx = 32913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502189636230469 × 216)
    floor (0.502189636230469 × 65536)
    floor (32911.5)     		ty = 32911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32913 / 32911 ti = "16/32913/32911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32913/32911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32913 ÷ 216
    32913 ÷ 65536     		x = 0.502212524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32911 ÷ 216
    32911 ÷ 65536     		y = 0.502182006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502212524414062 × 2 - 1) × π
    0.004425048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01390170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502182006835938 × 2 - 1) × π
    -0.004364013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0137099532913361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01390170} λ = 0.01390170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0137099532913361))-π/2
    2×atan(0.986383600092767)-π/2
    2×0.778543401488479-π/2
    1.55708680297696-1.57079632675     		φ = -0.01370952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01390170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.796509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01370952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.785498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32913 KachelY 32911 0.01390170 -0.01370952 0.796509 -0.785498
    Oben rechts KachelX + 1 32914 KachelY 32911 0.01399757 -0.01370952 0.802002 -0.785498
    Unten links KachelX 32913 KachelY + 1 32912 0.01390170 -0.01380539 0.796509 -0.790991
    Unten rechts KachelX + 1 32914 KachelY + 1 32912 0.01399757 -0.01380539 0.802002 -0.790991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01370952--0.01380539) × R
    9.58700000000014e-05 × 6371000     		dl = 610.787770000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01370952--0.01380539) × R
    9.58700000000014e-05 × 6371000     		dr = 610.787770000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01390170-0.01399757) × cos(-0.01370952) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999906026002574 × 6371000     		do = 610.730371831683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01390170-0.01399757) × cos(-0.01380539) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999904707116968 × 6371000     		du = 610.729566272485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01370952)-sin(-0.01380539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999906026002574-0.999904707116968)×R²
    abs(0.01399757-0.01390170)×1.31888560572779e-06×R²
    9.58700000000014e-05×1.31888560572779e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×1.31888560572779e-06×40589641000000     		ar = 373026.396155205m²