Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32928 / 33184
↖ ↑ ↗
← S  2.284551°
E  0.878906°		 ← 610.30 m → S  2.284551°
E  0.884399°		 →
↑
610.34 m
↓
↑
610.34 m
↓
S  2.290040°
E  0.878906°		 ← 610.30 m →
372 492 m²		 S  2.290040°
E  0.884399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502449035644531 y=0.506355285644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502449035644531 × 216)
    floor (0.502449035644531 × 65536)
    floor (32928.5)     		tx = 32928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.506355285644531 × 216)
    floor (0.506355285644531 × 65536)
    floor (33184.5)     		ty = 33184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32928 / 33184 ti = "16/32928/33184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32928/33184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32928 ÷ 216
    32928 ÷ 65536     		x = 0.50244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33184 ÷ 216
    33184 ÷ 65536     		y = 0.50634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50244140625 × 2 - 1) × π
    0.0048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01533981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50634765625 × 2 - 1) × π
    -0.0126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0398835004838867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01533981} λ = 0.01533981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0398835004838867))-π/2
    2×atan(0.960901377177308)-π/2
    2×0.765461697923145-π/2
    1.53092339584629-1.57079632675     		φ = -0.03987293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01533981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03987293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.284551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32928 KachelY 33184 0.01533981 -0.03987293 0.878906 -2.284551
    Oben rechts KachelX + 1 32929 KachelY 33184 0.01543568 -0.03987293 0.884399 -2.284551
    Unten links KachelX 32928 KachelY + 1 33185 0.01533981 -0.03996873 0.878906 -2.290040
    Unten rechts KachelX + 1 32929 KachelY + 1 33185 0.01543568 -0.03996873 0.884399 -2.290040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03987293--0.03996873) × R
    9.58000000000001e-05 × 6371000     		dl = 610.3418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03987293--0.03996873) × R
    9.58000000000001e-05 × 6371000     		dr = 610.3418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01533981-0.01543568) × cos(-0.03987293) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999205180038725 × 6371000     		do = 610.302303688299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01533981-0.01543568) × cos(-0.03996873) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999201356638942 × 6371000     		du = 610.299968402472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03987293)-sin(-0.03996873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999205180038725-0.999201356638942)×R²
    abs(0.01543568-0.01533981)×3.82339978244328e-06×R²
    9.58699999999996e-05×3.82339978244328e-06×6371000²
    9.58699999999996e-05×3.82339978244328e-06×40589641000000     		ar = 372492.294200881m²