Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32992 / 33120
↖ ↑ ↗
← S  1.933227°
E  1.230469°		 ← 610.44 m → S  1.933227°
E  1.235962°		 →
↑
610.47 m
↓
↑
610.47 m
↓
S  1.938717°
E  1.230469°		 ← 610.44 m →
372 654 m²		 S  1.938717°
E  1.235962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503425598144531 y=0.505378723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503425598144531 × 216)
    floor (0.503425598144531 × 65536)
    floor (32992.5)     		tx = 32992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505378723144531 × 216)
    floor (0.505378723144531 × 65536)
    floor (33120.5)     		ty = 33120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32992 / 33120 ti = "16/32992/33120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32992/33120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32992 ÷ 216
    32992 ÷ 65536     		x = 0.50341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33120 ÷ 216
    33120 ÷ 65536     		y = 0.50537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50341796875 × 2 - 1) × π
    0.0068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02147573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50537109375 × 2 - 1) × π
    -0.0107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0337475773325195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02147573} λ = 0.02147573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0337475773325195))-π/2
    2×atan(0.966815519991225)-π/2
    2×0.768527576742977-π/2
    1.53705515348595-1.57079632675     		φ = -0.03374117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02147573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.230469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03374117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.933227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32992 KachelY 33120 0.02147573 -0.03374117 1.230469 -1.933227
    Oben rechts KachelX + 1 32993 KachelY 33120 0.02157160 -0.03374117 1.235962 -1.933227
    Unten links KachelX 32992 KachelY + 1 33121 0.02147573 -0.03383699 1.230469 -1.938717
    Unten rechts KachelX + 1 32993 KachelY + 1 33121 0.02157160 -0.03383699 1.235962 -1.938717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03374117--0.03383699) × R
    9.58199999999965e-05 × 6371000     		dl = 610.469219999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03374117--0.03383699) × R
    9.58199999999965e-05 × 6371000     		dr = 610.469219999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02147573-0.02157160) × cos(-0.03374117) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999430820725887 × 6371000     		do = 610.440122260443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02147573-0.02157160) × cos(-0.03383699) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999427583672283 × 6371000     		du = 610.438145107691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03374117)-sin(-0.03383699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999430820725887-0.999427583672283)×R²
    abs(0.02157160-0.02147573)×3.23705360394388e-06×R²
    9.58700000000014e-05×3.23705360394388e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×3.23705360394388e-06×40589641000000     		ar = 372654.302082701m²