Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33026 / 33027
↖ ↑ ↗
← S  1.422583°
E  1.417236°		 ← 610.60 m → S  1.422583°
E  1.422729°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.428075°
E  1.417236°		 ← 610.60 m →
372 868 m²		 S  1.428075°
E  1.422729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503944396972656 y=0.503959655761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503944396972656 × 216)
    floor (0.503944396972656 × 65536)
    floor (33026.5)     		tx = 33026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503959655761719 × 216)
    floor (0.503959655761719 × 65536)
    floor (33027.5)     		ty = 33027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33026 / 33027 ti = "16/33026/33027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33026/33027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33026 ÷ 216
    33026 ÷ 65536     		x = 0.503936767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33027 ÷ 216
    33027 ÷ 65536     		y = 0.503952026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503936767578125 × 2 - 1) × π
    0.00787353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02473544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503952026367188 × 2 - 1) × π
    -0.007904052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0248313140031891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02473544} λ = 0.02473544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0248313140031891))-π/2
    2×atan(0.975474447030028)-π/2
    2×0.7729837821028-π/2
    1.5459675642056-1.57079632675     		φ = -0.02482876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02473544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.417236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02482876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.422583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33026 KachelY 33027 0.02473544 -0.02482876 1.417236 -1.422583
    Oben rechts KachelX + 1 33027 KachelY 33027 0.02483131 -0.02482876 1.422729 -1.422583
    Unten links KachelX 33026 KachelY + 1 33028 0.02473544 -0.02492461 1.417236 -1.428075
    Unten rechts KachelX + 1 33027 KachelY + 1 33028 0.02483131 -0.02492461 1.422729 -1.428075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02482876--0.02492461) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dl = 610.66035000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02482876--0.02492461) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dr = 610.66035000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02473544-0.02483131) × cos(-0.02482876) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999691782172771 × 6371000     		do = 610.599514320619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02473544-0.02483131) × cos(-0.02492461) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999689397988441 × 6371000     		du = 610.598058089989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02482876)-sin(-0.02492461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999691782172771-0.999689397988441)×R²
    abs(0.02483131-0.02473544)×2.38418433007315e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.38418433007315e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.38418433007315e-06×40589641000000     		ar = 372868.468779182m²