Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33028 / 33028
↖ ↑ ↗
← S  1.428075°
E  1.428223°		 ← 610.60 m → S  1.428075°
E  1.433716°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
S  1.433566°
E  1.428223°		 ← 610.60 m →
372 829 m²		 S  1.433566°
E  1.433716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503974914550781 y=0.503974914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503974914550781 × 216)
    floor (0.503974914550781 × 65536)
    floor (33028.5)     		tx = 33028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503974914550781 × 216)
    floor (0.503974914550781 × 65536)
    floor (33028.5)     		ty = 33028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33028 / 33028 ti = "16/33028/33028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33028/33028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33028 ÷ 216
    33028 ÷ 65536     		x = 0.50396728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33028 ÷ 216
    33028 ÷ 65536     		y = 0.50396728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50396728515625 × 2 - 1) × π
    0.0079345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02492719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50396728515625 × 2 - 1) × π
    -0.0079345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0249271878024292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02492719} λ = 0.02492719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0249271878024292))-π/2
    2×atan(0.975380929071762)-π/2
    2×0.772935860035295-π/2
    1.54587172007059-1.57079632675     		φ = -0.02492461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02492719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02492461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.428075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33028 KachelY 33028 0.02492719 -0.02492461 1.428223 -1.428075
    Oben rechts KachelX + 1 33029 KachelY 33028 0.02502306 -0.02492461 1.433716 -1.428075
    Unten links KachelX 33028 KachelY + 1 33029 0.02492719 -0.02502045 1.428223 -1.433566
    Unten rechts KachelX + 1 33029 KachelY + 1 33029 0.02502306 -0.02502045 1.433716 -1.433566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02492461--0.02502045) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02492461--0.02502045) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02492719-0.02502306) × cos(-0.02492461) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999689397988441 × 6371000     		do = 610.598058090011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02492719-0.02502306) × cos(-0.02502045) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.99968700486992 × 6371000     		du = 610.596596402486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02492461)-sin(-0.02502045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999689397988441-0.99968700486992)×R²
    abs(0.02502306-0.02492719)×2.39311852057167e-06×R²
    9.58700000000014e-05×2.39311852057167e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×2.39311852057167e-06×40589641000000     		ar = 372828.676694913m²