Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33028 / 33540
↖ ↑ ↗
← S  4.236856°
E  1.428223°		 ← 609.12 m → S  4.236856°
E  1.433716°		 →
↑
609.13 m
↓
↑
609.13 m
↓
S  4.242334°
E  1.428223°		 ← 609.11 m →
371 032 m²		 S  4.242334°
E  1.433716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503974914550781 y=0.511787414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503974914550781 × 216)
    floor (0.503974914550781 × 65536)
    floor (33028.5)     		tx = 33028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511787414550781 × 216)
    floor (0.511787414550781 × 65536)
    floor (33540.5)     		ty = 33540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33028 / 33540 ti = "16/33028/33540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33028/33540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33028 ÷ 216
    33028 ÷ 65536     		x = 0.50396728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33540 ÷ 216
    33540 ÷ 65536     		y = 0.51177978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50396728515625 × 2 - 1) × π
    0.0079345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02492719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51177978515625 × 2 - 1) × π
    -0.0235595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0740145730133667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02492719} λ = 0.02492719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0740145730133667))-π/2
    2×atan(0.928658160394891)-π/2
    2×0.748424619310482-π/2
    1.49684923862096-1.57079632675     		φ = -0.07394709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02492719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07394709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.236856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33028 KachelY 33540 0.02492719 -0.07394709 1.428223 -4.236856
    Oben rechts KachelX + 1 33029 KachelY 33540 0.02502306 -0.07394709 1.433716 -4.236856
    Unten links KachelX 33028 KachelY + 1 33541 0.02492719 -0.07404270 1.428223 -4.242334
    Unten rechts KachelX + 1 33029 KachelY + 1 33541 0.02502306 -0.07404270 1.433716 -4.242334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07394709--0.07404270) × R
    9.56100000000099e-05 × 6371000     		dl = 609.131310000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07394709--0.07404270) × R
    9.56100000000099e-05 × 6371000     		dr = 609.131310000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02492719-0.02502306) × cos(-0.07394709) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.997267159584297 × 6371000     		do = 609.118584496736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02492719-0.02502306) × cos(-0.07404270) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.99726009138653 × 6371000     		du = 609.114267327983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07394709)-sin(-0.07404270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997267159584297-0.99726009138653)×R²
    abs(0.02502306-0.02492719)×7.0681977673015e-06×R²
    9.58700000000014e-05×7.0681977673015e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×7.0681977673015e-06×40589641000000     		ar = 371031.886741162m²