Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33032 / 33016
↖ ↑ ↗
← S  1.362176°
E  1.450195°		 ← 610.68 m → S  1.362176°
E  1.455689°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.367668°
E  1.450195°		 ← 610.68 m →
372 917 m²		 S  1.367668°
E  1.455689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504035949707031 y=0.503791809082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504035949707031 × 216)
    floor (0.504035949707031 × 65536)
    floor (33032.5)     		tx = 33032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503791809082031 × 216)
    floor (0.503791809082031 × 65536)
    floor (33016.5)     		ty = 33016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33032 / 33016 ti = "16/33032/33016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33032/33016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33032 ÷ 216
    33032 ÷ 65536     		x = 0.5040283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33016 ÷ 216
    33016 ÷ 65536     		y = 0.5037841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5040283203125 × 2 - 1) × π
    0.008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02531068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5037841796875 × 2 - 1) × π
    -0.007568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0237767022115479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02531068} λ = 0.02531068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0237767022115479))-π/2
    2×atan(0.976503736539339)-π/2
    2×0.773510932276749-π/2
    1.5470218645535-1.57079632675     		φ = -0.02377446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02531068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02377446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.362176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33032 KachelY 33016 0.02531068 -0.02377446 1.450195 -1.362176
    Oben rechts KachelX + 1 33033 KachelY 33016 0.02540656 -0.02377446 1.455689 -1.362176
    Unten links KachelX 33032 KachelY + 1 33017 0.02531068 -0.02387031 1.450195 -1.367668
    Unten rechts KachelX + 1 33033 KachelY + 1 33017 0.02540656 -0.02387031 1.455689 -1.367668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02377446--0.02387031) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.660349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02377446--0.02387031) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.660349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02531068-0.02540656) × cos(-0.02377446) × R
    9.5880000000003e-05 × 0.999717400837238 × 6371000     		do = 610.6788538832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02531068-0.02540656) × cos(-0.02387031) × R
    9.5880000000003e-05 × 0.999715117677603 × 6371000     		du = 610.677459211757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02377446)-sin(-0.02387031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999717400837238-0.999715117677603)×R²
    abs(0.02540656-0.02531068)×2.28315963590742e-06×R²
    9.5880000000003e-05×2.28315963590742e-06×6371000²
    9.5880000000003e-05×2.28315963590742e-06×40589641000000     		ar = 372916.937100124m²