Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33040 / 33552
↖ ↑ ↗
← S  4.302591°
E  1.494140°		 ← 609.13 m → S  4.302591°
E  1.499634°		 →
↑
609.07 m
↓
↑
609.07 m
↓
S  4.308069°
E  1.494140°		 ← 609.13 m →
371 000 m²		 S  4.308069°
E  1.499634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504158020019531 y=0.511970520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504158020019531 × 216)
    floor (0.504158020019531 × 65536)
    floor (33040.5)     		tx = 33040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511970520019531 × 216)
    floor (0.511970520019531 × 65536)
    floor (33552.5)     		ty = 33552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33040 / 33552 ti = "16/33040/33552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33040/33552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33040 ÷ 216
    33040 ÷ 65536     		x = 0.504150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33552 ÷ 216
    33552 ÷ 65536     		y = 0.511962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504150390625 × 2 - 1) × π
    0.00830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02607767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.511962890625 × 2 - 1) × π
    -0.02392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.075165058604248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02607767} λ = 0.02607767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.075165058604248))-π/2
    2×atan(0.927590366920785)-π/2
    2×0.747850973067186-π/2
    1.49570194613437-1.57079632675     		φ = -0.07509438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02607767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.494140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07509438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.302591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33040 KachelY 33552 0.02607767 -0.07509438 1.494140 -4.302591
    Oben rechts KachelX + 1 33041 KachelY 33552 0.02617355 -0.07509438 1.499634 -4.302591
    Unten links KachelX 33040 KachelY + 1 33553 0.02607767 -0.07518998 1.494140 -4.308069
    Unten rechts KachelX + 1 33041 KachelY + 1 33553 0.02617355 -0.07518998 1.499634 -4.308069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07509438--0.07518998) × R
    9.56000000000012e-05 × 6371000     		dl = 609.067600000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07509438--0.07518998) × R
    9.56000000000012e-05 × 6371000     		dr = 609.067600000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02607767-0.02617355) × cos(-0.07509438) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.997181741805174 × 6371000     		do = 609.129942810666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02607767-0.02617355) × cos(-0.07518998) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.997174564971036 × 6371000     		du = 609.125558830911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07509438)-sin(-0.07518998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997181741805174-0.997174564971036)×R²
    abs(0.02617355-0.02607767)×7.1768341373124e-06×R²
    9.58799999999996e-05×7.1768341373124e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×7.1768341373124e-06×40589641000000     		ar = 370999.977568356m²