Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33048 / 33048
↖ ↑ ↗
← S  1.537901°
E  1.538086°		 ← 610.63 m → S  1.537901°
E  1.543579°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
S  1.543392°
E  1.538086°		 ← 610.63 m →
372 849 m²		 S  1.543392°
E  1.543579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504280090332031 y=0.504280090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504280090332031 × 216)
    floor (0.504280090332031 × 65536)
    floor (33048.5)     		tx = 33048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504280090332031 × 216)
    floor (0.504280090332031 × 65536)
    floor (33048.5)     		ty = 33048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33048 / 33048 ti = "16/33048/33048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33048/33048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33048 ÷ 216
    33048 ÷ 65536     		x = 0.5042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33048 ÷ 216
    33048 ÷ 65536     		y = 0.5042724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5042724609375 × 2 - 1) × π
    0.008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02684466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5042724609375 × 2 - 1) × π
    -0.008544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0268446637872314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02684466} λ = 0.02684466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0268446637872314))-π/2
    2×atan(0.973512451517141)-π/2
    2×0.771977443315994-π/2
    1.54395488663199-1.57079632675     		φ = -0.02684144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02684466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02684144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.537901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33048 KachelY 33048 0.02684466 -0.02684144 1.538086 -1.537901
    Oben rechts KachelX + 1 33049 KachelY 33048 0.02694054 -0.02684144 1.543579 -1.537901
    Unten links KachelX 33048 KachelY + 1 33049 0.02684466 -0.02693728 1.538086 -1.543392
    Unten rechts KachelX + 1 33049 KachelY + 1 33049 0.02694054 -0.02693728 1.543579 -1.543392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02684144--0.02693728) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02684144--0.02693728) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02684466-0.02694054) × cos(-0.02684144) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999639790176627 × 6371000     		do = 610.631445296279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02684466-0.02694054) × cos(-0.02693728) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999637213410908 × 6371000     		du = 610.629871275126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02684144)-sin(-0.02693728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999639790176627-0.999637213410908)×R²
    abs(0.02694054-0.02684466)×2.57676571879806e-06×R²
    9.58799999999996e-05×2.57676571879806e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.57676571879806e-06×40589641000000     		ar = 372849.028515633m²