Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33064 / 33064
↖ ↑ ↗
← S  1.625759°
E  1.625976°		 ← 610.61 m → S  1.625759°
E  1.631470°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
S  1.631249°
E  1.625976°		 ← 610.60 m →
372 794 m²		 S  1.631249°
E  1.631470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504524230957031 y=0.504524230957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504524230957031 × 216)
    floor (0.504524230957031 × 65536)
    floor (33064.5)     		tx = 33064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504524230957031 × 216)
    floor (0.504524230957031 × 65536)
    floor (33064.5)     		ty = 33064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33064 / 33064 ti = "16/33064/33064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33064/33064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33064 ÷ 216
    33064 ÷ 65536     		x = 0.5045166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33064 ÷ 216
    33064 ÷ 65536     		y = 0.5045166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5045166015625 × 2 - 1) × π
    0.009033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02837864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5045166015625 × 2 - 1) × π
    -0.009033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0283786445750732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02837864} λ = 0.02837864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0283786445750732))-π/2
    2×atan(0.97202024691899)-π/2
    2×0.77121074528234-π/2
    1.54242149056468-1.57079632675     		φ = -0.02837484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02837864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.625976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02837484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.625759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33064 KachelY 33064 0.02837864 -0.02837484 1.625976 -1.625759
    Oben rechts KachelX + 1 33065 KachelY 33064 0.02847452 -0.02837484 1.631470 -1.625759
    Unten links KachelX 33064 KachelY + 1 33065 0.02837864 -0.02847067 1.625976 -1.631249
    Unten rechts KachelX + 1 33065 KachelY + 1 33065 0.02847452 -0.02847067 1.631470 -1.631249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02837484--0.02847067) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dl = 610.53293000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02837484--0.02847067) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dr = 610.53293000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02837864-0.02847452) × cos(-0.02837484) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999597461236629 × 6371000     		do = 610.605588600635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02837864-0.02847452) × cos(-0.02847067) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999594737850736 × 6371000     		du = 610.603925016331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02837484)-sin(-0.02847067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999597461236629-0.999594737850736)×R²
    abs(0.02847452-0.02837864)×2.7233858934661e-06×R²
    9.58799999999996e-05×2.7233858934661e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.7233858934661e-06×40589641000000     		ar = 372794.311531511m²