Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33151 / 33151
↖ ↑ ↗
← S  2.103409°
E  2.103882°		 ← 610.38 m → S  2.103409°
E  2.109375°		 →
↑
610.41 m
↓
↑
610.41 m
↓
S  2.108899°
E  2.103882°		 ← 610.37 m →
372 576 m²		 S  2.108899°
E  2.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505851745605469 y=0.505851745605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505851745605469 × 216)
    floor (0.505851745605469 × 65536)
    floor (33151.5)     		tx = 33151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505851745605469 × 216)
    floor (0.505851745605469 × 65536)
    floor (33151.5)     		ty = 33151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33151 / 33151 ti = "16/33151/33151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33151/33151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33151 ÷ 216
    33151 ÷ 65536     		x = 0.505844116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33151 ÷ 216
    33151 ÷ 65536     		y = 0.505844116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505844116210938 × 2 - 1) × π
    0.011688232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03671967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505844116210938 × 2 - 1) × π
    -0.011688232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.036719665108963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03671967} λ = 0.03671967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.036719665108963))-π/2
    2×atan(0.963946325263512)-π/2
    2×0.767042455316568-π/2
    1.53408491063314-1.57079632675     		φ = -0.03671142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03671967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.103882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03671142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.103409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33151 KachelY 33151 0.03671967 -0.03671142 2.103882 -2.103409
    Oben rechts KachelX + 1 33152 KachelY 33151 0.03681554 -0.03671142 2.109375 -2.103409
    Unten links KachelX 33151 KachelY + 1 33152 0.03671967 -0.03680723 2.103882 -2.108899
    Unten rechts KachelX + 1 33152 KachelY + 1 33152 0.03681554 -0.03680723 2.109375 -2.108899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03671142--0.03680723) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dl = 610.405510000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03671142--0.03680723) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dr = 610.405510000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03671967-0.03681554) × cos(-0.03671142) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999326211499547 × 6371000     		do = 610.376228224343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03671967-0.03681554) × cos(-0.03680723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999322690381729 × 6371000     		du = 610.374077568644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03671142)-sin(-0.03680723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999326211499547-0.999322690381729)×R²
    abs(0.03681554-0.03671967)×3.52111781798392e-06×R²
    9.58699999999979e-05×3.52111781798392e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52111781798392e-06×40589641000000     		ar = 372576.356780101m²