Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33153 / 32641
↖ ↑ ↗
← N  0.697615°
E  2.114868°		 ← 610.81 m → N  0.697615°
E  2.120362°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.692122°
E  2.114868°		 ← 610.81 m →
373 073 m²		 N  0.692122°
E  2.120362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505882263183594 y=0.498069763183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505882263183594 × 216)
    floor (0.505882263183594 × 65536)
    floor (33153.5)     		tx = 33153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498069763183594 × 216)
    floor (0.498069763183594 × 65536)
    floor (32641.5)     		ty = 32641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33153 / 32641 ti = "16/33153/32641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33153/32641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33153 ÷ 216
    33153 ÷ 65536     		x = 0.505874633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32641 ÷ 216
    32641 ÷ 65536     		y = 0.498062133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505874633789062 × 2 - 1) × π
    0.011749267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03691141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498062133789062 × 2 - 1) × π
    0.003875732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0121759725034943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03691141} λ = 0.03691141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0121759725034943))-π/2
    2×atan(1.01225040143146)-π/2
    2×0.791485999226407-π/2
    1.58297199845281-1.57079632675     		φ = 0.01217567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03691141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.114868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01217567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.697615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33153 KachelY 32641 0.03691141 0.01217567 2.114868 0.697615
    Oben rechts KachelX + 1 33154 KachelY 32641 0.03700729 0.01217567 2.120362 0.697615
    Unten links KachelX 33153 KachelY + 1 32642 0.03691141 0.01207980 2.114868 0.692122
    Unten rechts KachelX + 1 33154 KachelY + 1 32642 0.03700729 0.01207980 2.120362 0.692122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01217567-0.01207980) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01217567-0.01207980) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03691141-0.03700729) × cos(0.01217567) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999925877445736 × 6371000     		do = 610.806202128024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03691141-0.03700729) × cos(0.01207980) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999927040103188 × 6371000     		du = 610.806912339049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01217567)-sin(0.01207980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999925877445736-0.999927040103188)×R²
    abs(0.03700729-0.03691141)×1.16265745253585e-06×R²
    9.58799999999996e-05×1.16265745253585e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.16265745253585e-06×40589641000000     		ar = 373073.175279795m²