Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 332 / 316
↖ ↑ ↗
← S 38.822591°
E 53.437500°		 ← 60.912 km → S 38.822591°
E 54.140625°		 →
↑
60.678 km
↓
↑
60.678 km
↓
S 39.368279°
E 53.437500°		 ← 60.443 km →
3 681.81 km²		 S 39.368279°
E 54.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6494140625 y=0.6181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6494140625 × 29)
    floor (0.6494140625 × 512)
    floor (332.5)     		tx = 332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6181640625 × 29)
    floor (0.6181640625 × 512)
    floor (316.5)     		ty = 316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 332 / 316 ti = "9/332/316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/332/316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 332 ÷ 29
    332 ÷ 512     		x = 0.6484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 316 ÷ 29
    316 ÷ 512     		y = 0.6171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6484375 × 2 - 1) × π
    0.296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6171875 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93266032} λ = 0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.736310778164063))-π/2
    2×atan(0.478877345438407)-π/2
    2×0.446607145060981-π/2
    0.893214290121963-1.57079632675     		φ = -0.67758204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67758204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.822591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 332 KachelY 316 0.93266032 -0.67758204 53.437500 -38.822591
    Oben rechts KachelX + 1 333 KachelY 316 0.94493217 -0.67758204 54.140625 -38.822591
    Unten links KachelX 332 KachelY + 1 317 0.93266032 -0.68710609 53.437500 -39.368279
    Unten rechts KachelX + 1 333 KachelY + 1 317 0.94493217 -0.68710609 54.140625 -39.368279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67758204--0.68710609) × R
    0.00952405000000001 × 6371000     		dl = 60677.72255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67758204--0.68710609) × R
    0.00952405000000001 × 6371000     		dr = 60677.72255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93266032-0.94493217) × cos(-0.67758204) × R
    0.01227185 × 0.779090840599552 × 6371000     		do = 60912.4042741201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93266032-0.94493217) × cos(-0.68710609) × R
    0.01227185 × 0.773084864262395 × 6371000     		du = 60442.8332823367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67758204)-sin(-0.68710609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779090840599552-0.773084864262395)×R²
    abs(0.94493217-0.93266032)×0.00600597633715694×R²
    0.01227185×0.00600597633715694×6371000²
    0.01227185×0.00600597633715694×40589641000000     		ar = 3681807547.90064m²