Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3327 / 3329
↖ ↑ ↗
← S 74.043723°
E112.412110°		 ← 2 686.63 m → S 74.043723°
E112.500000°		 →
↑
2 684.68 m
↓
↑
2 684.68 m
↓
S 74.067866°
E112.412110°		 ← 2 682.67 m →
7 207 416 m²		 S 74.067866°
E112.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8123779296875 y=0.8128662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8123779296875 × 212)
    floor (0.8123779296875 × 4096)
    floor (3327.5)     		tx = 3327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8128662109375 × 212)
    floor (0.8128662109375 × 4096)
    floor (3329.5)     		ty = 3329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3327 / 3329 ti = "12/3327/3329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3327/3329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3327 ÷ 212
    3327 ÷ 4096     		x = 0.812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3329 ÷ 212
    3329 ÷ 4096     		y = 0.812744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812255859375 × 2 - 1) × π
    0.62451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.96196143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.812744140625 × 2 - 1) × π
    -0.62548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.96502938922534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96196143} λ = 1.96196143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.96502938922534))-π/2
    2×atan(0.140151767603408)-π/2
    2×0.139244788519797-π/2
    0.278489577039594-1.57079632675     		φ = -1.29230675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96196143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.412110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29230675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.043723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3327 KachelY 3329 1.96196143 -1.29230675 112.412110 -74.043723
    Oben rechts KachelX + 1 3328 KachelY 3329 1.96349541 -1.29230675 112.500000 -74.043723
    Unten links KachelX 3327 KachelY + 1 3330 1.96196143 -1.29272814 112.412110 -74.067866
    Unten rechts KachelX + 1 3328 KachelY + 1 3330 1.96349541 -1.29272814 112.500000 -74.067866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29230675--1.29272814) × R
    0.000421389999999855 × 6371000     		dl = 2684.67568999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29230675--1.29272814) × R
    0.000421389999999855 × 6371000     		dr = 2684.67568999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96196143-1.96349541) × cos(-1.29230675) × R
    0.00153398000000005 × 0.274903733444816 × 6371000     		do = 2686.63049774816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96196143-1.96349541) × cos(-1.29272814) × R
    0.00153398000000005 × 0.274498554466336 × 6371000     		du = 2682.67068902899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29230675)-sin(-1.29272814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274903733444816-0.274498554466336)×R²
    abs(1.96349541-1.96196143)×0.000405178978479248×R²
    0.00153398000000005×0.000405178978479248×6371000²
    0.00153398000000005×0.000405178978479248×40589641000000     		ar = 7207416.2908636m²