Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33313 / 33311
↖ ↑ ↗
← S  2.981441°
E  2.993774°		 ← 609.96 m → S  2.981441°
E  2.999267°		 →
↑
610.02 m
↓
↑
610.02 m
↓
S  2.986928°
E  2.993774°		 ← 609.96 m →
372 089 m²		 S  2.986928°
E  2.999267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508323669433594 y=0.508293151855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508323669433594 × 216)
    floor (0.508323669433594 × 65536)
    floor (33313.5)     		tx = 33313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508293151855469 × 216)
    floor (0.508293151855469 × 65536)
    floor (33311.5)     		ty = 33311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33313 / 33311 ti = "16/33313/33311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33313/33311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33313 ÷ 216
    33313 ÷ 65536     		x = 0.508316040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33311 ÷ 216
    33311 ÷ 65536     		y = 0.508285522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508316040039062 × 2 - 1) × π
    0.016632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05225122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508285522460938 × 2 - 1) × π
    -0.016571044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.052059472987381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05225122} λ = 0.05225122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.052059472987381))-π/2
    2×atan(0.949272409098043)-π/2
    2×0.759380176526778-π/2
    1.51876035305356-1.57079632675     		φ = -0.05203597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05225122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.993774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05203597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.981441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33313 KachelY 33311 0.05225122 -0.05203597 2.993774 -2.981441
    Oben rechts KachelX + 1 33314 KachelY 33311 0.05234709 -0.05203597 2.999267 -2.981441
    Unten links KachelX 33313 KachelY + 1 33312 0.05225122 -0.05213172 2.993774 -2.986928
    Unten rechts KachelX + 1 33314 KachelY + 1 33312 0.05234709 -0.05213172 2.999267 -2.986928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05203597--0.05213172) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dl = 610.023249999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05203597--0.05213172) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dr = 610.023249999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05225122-0.05234709) × cos(-0.05203597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998646434379994 × 6371000     		do = 609.961028673395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05225122-0.05234709) × cos(-0.05213172) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998641449606272 × 6371000     		du = 609.957984034569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05203597)-sin(-0.05213172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998646434379994-0.998641449606272)×R²
    abs(0.05234709-0.05225122)×4.98477372179451e-06×R²
    9.58699999999979e-05×4.98477372179451e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.98477372179451e-06×40589641000000     		ar = 372089.480718709m²