Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33352 / 33352
↖ ↑ ↗
← S  3.206333°
E  3.208008°		 ← 609.83 m → S  3.206333°
E  3.213501°		 →
↑
609.83 m
↓
↑
609.83 m
↓
S  3.211817°
E  3.208008°		 ← 609.83 m →
371 894 m²		 S  3.211817°
E  3.213501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508918762207031 y=0.508918762207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508918762207031 × 216)
    floor (0.508918762207031 × 65536)
    floor (33352.5)     		tx = 33352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508918762207031 × 216)
    floor (0.508918762207031 × 65536)
    floor (33352.5)     		ty = 33352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33352 / 33352 ti = "16/33352/33352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33352/33352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33352 ÷ 216
    33352 ÷ 65536     		x = 0.5089111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33352 ÷ 216
    33352 ÷ 65536     		y = 0.5089111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5089111328125 × 2 - 1) × π
    0.017822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05599030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5089111328125 × 2 - 1) × π
    -0.017822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0559902987562256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05599030} λ = 0.05599030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0559902987562256))-π/2
    2×atan(0.945548308840546)-π/2
    2×0.757417629628329-π/2
    1.51483525925666-1.57079632675     		φ = -0.05596107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05599030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.208008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05596107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.206333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33352 KachelY 33352 0.05599030 -0.05596107 3.208008 -3.206333
    Oben rechts KachelX + 1 33353 KachelY 33352 0.05608617 -0.05596107 3.213501 -3.206333
    Unten links KachelX 33352 KachelY + 1 33353 0.05599030 -0.05605679 3.208008 -3.211817
    Unten rechts KachelX + 1 33353 KachelY + 1 33353 0.05608617 -0.05605679 3.213501 -3.211817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05596107--0.05605679) × R
    9.57200000000005e-05 × 6371000     		dl = 609.832120000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05596107--0.05605679) × R
    9.57200000000005e-05 × 6371000     		dr = 609.832120000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05599030-0.05608617) × cos(-0.05596107) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998434587911973 × 6371000     		do = 609.831635441609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05599030-0.05608617) × cos(-0.05605679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998429229539757 × 6371000     		du = 609.828362613393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05596107)-sin(-0.05605679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998434587911973-0.998429229539757)×R²
    abs(0.05608617-0.05599030)×5.35837221604663e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.35837221604663e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.35837221604663e-06×40589641000000     		ar = 371893.921430498m²