Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33412 / 33412
↖ ↑ ↗
← S  3.535352°
E  3.537598°		 ← 609.63 m → S  3.535352°
E  3.543091°		 →
↑
609.64 m
↓
↑
609.64 m
↓
S  3.540835°
E  3.537598°		 ← 609.62 m →
371 652 m²		 S  3.540835°
E  3.543091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509834289550781 y=0.509834289550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509834289550781 × 216)
    floor (0.509834289550781 × 65536)
    floor (33412.5)     		tx = 33412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509834289550781 × 216)
    floor (0.509834289550781 × 65536)
    floor (33412.5)     		ty = 33412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33412 / 33412 ti = "16/33412/33412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33412/33412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33412 ÷ 216
    33412 ÷ 65536     		x = 0.50982666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33412 ÷ 216
    33412 ÷ 65536     		y = 0.50982666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50982666015625 × 2 - 1) × π
    0.0196533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06174273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50982666015625 × 2 - 1) × π
    -0.0196533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0617427267106323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06174273} λ = 0.06174273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0617427267106323))-π/2
    2×atan(0.940124724660872)-π/2
    2×0.754546395820984-π/2
    1.50909279164197-1.57079632675     		φ = -0.06170354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06174273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.537598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06170354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.535352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33412 KachelY 33412 0.06174273 -0.06170354 3.537598 -3.535352
    Oben rechts KachelX + 1 33413 KachelY 33412 0.06183860 -0.06170354 3.543091 -3.535352
    Unten links KachelX 33412 KachelY + 1 33413 0.06174273 -0.06179923 3.537598 -3.540835
    Unten rechts KachelX + 1 33413 KachelY + 1 33413 0.06183860 -0.06179923 3.543091 -3.540835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06170354--0.06179923) × R
    9.56899999999955e-05 × 6371000     		dl = 609.640989999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06170354--0.06179923) × R
    9.56899999999955e-05 × 6371000     		dr = 609.640989999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06174273-0.06183860) × cos(-0.06170354) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998096940488159 × 6371000     		do = 609.625404524572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06174273-0.06183860) × cos(-0.06179923) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998091035252808 × 6371000     		du = 609.62179767904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06170354)-sin(-0.06179923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998096940488159-0.998091035252808)×R²
    abs(0.06183860-0.06174273)×5.90523535115572e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.90523535115572e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.90523535115572e-06×40589641000000     		ar = 371651.53598665m²