Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33544 / 33032
↖ ↑ ↗
← S  1.450040°
E  4.262695°		 ← 610.59 m → S  1.450040°
E  4.268188°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
S  1.455532°
E  4.262695°		 ← 610.59 m →
372 825 m²		 S  1.455532°
E  4.268188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511848449707031 y=0.504035949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511848449707031 × 216)
    floor (0.511848449707031 × 65536)
    floor (33544.5)     		tx = 33544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504035949707031 × 216)
    floor (0.504035949707031 × 65536)
    floor (33032.5)     		ty = 33032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33544 / 33032 ti = "16/33544/33032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33544/33032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33544 ÷ 216
    33544 ÷ 65536     		x = 0.5118408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33032 ÷ 216
    33032 ÷ 65536     		y = 0.5040283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5118408203125 × 2 - 1) × π
    0.023681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07439807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5040283203125 × 2 - 1) × π
    -0.008056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0253106829993896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07439807} λ = 0.07439807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0253106829993896))-π/2
    2×atan(0.975006946885026)-π/2
    2×0.772744172914709-π/2
    1.54548834582942-1.57079632675     		φ = -0.02530798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07439807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.262695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02530798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.450040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33544 KachelY 33032 0.07439807 -0.02530798 4.262695 -1.450040
    Oben rechts KachelX + 1 33545 KachelY 33032 0.07449394 -0.02530798 4.268188 -1.450040
    Unten links KachelX 33544 KachelY + 1 33033 0.07439807 -0.02540382 4.262695 -1.455532
    Unten rechts KachelX + 1 33545 KachelY + 1 33033 0.07449394 -0.02540382 4.268188 -1.455532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02530798--0.02540382) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02530798--0.02540382) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07439807-0.07449394) × cos(-0.02530798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99967977016681 × 6371000     		do = 610.592177534285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07439807-0.07449394) × cos(-0.02540382) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999677340317742 × 6371000     		du = 610.590693412191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02530798)-sin(-0.02540382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99967977016681-0.999677340317742)×R²
    abs(0.07449394-0.07439807)×2.42984906839716e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.42984906839716e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.42984906839716e-06×40589641000000     		ar = 372825.07919812m²